Funksjonsoppgave

[daofeishi]

Anta at funksjonene f og g, begge fra reelle tall til reelle tall, tilfredsstiller
$f(x+g(y))=2x+y+5$

Finn et uttrykk for $g(x+f(y))$

[groupie]

Burde man prøve med y=0?

[daofeishi]

Det vil saa absolutt gi nyttig informasjon om hva slags funksjon f er, ja

[groupie]

Ikke akkurat mitt verk, men etter mye klabb og babb:

$f(x+g(0))=2x+5$

La oss så kalle $x=z-g(0)$ og vi får:

$f(x+g(0))=f(z-g(0)+g(0))=f(z)=2(z-g(0))+5$

For å dermed rydde det opp til:

$f(z)=2(z-g(0))+5$

$f(x)=2(x-g(0))+5$

Og vi er vel langt på vei?

[daofeishi]

Her er mye nyttig informasjon. Hva vet du nå om f? Hvordan kan dette benyttes til å finne g?

[groupie]

Vi ser da at f er lineær, og kan definere konstantleddet som k:

$f(x)=2(x-g(0))+5=2x+k$

For å finne mer ut av g, kan vi nå prøve x=0 i f:

$f(g(y))=y+5$

Videre ser vi vel at g(y) kan finnes ved hjelp av inversen til f(x), som vi kan kalle i(x):

$f(ix)=2i(x)+k=x$
$i(x)=\frac{x-k}{2}=\frac{x-5+2g(0)}{2}$

Bra så langt?

[daofeishi]

Se over notasjonen litt, ser ut til at det har sneket seg inn et par feil. Ellers har du rett i at funksjonen f er invertibel, og du har funnet inversen - nå får du vise hvordan dette kan brukes til å finne g og løse oppgaven.

En liten digresjon, inversen til f, dersom f er invertibel, noteres gjerne $f^{-1}(x)$

[groupie]

Hmm ja, nest siste linje der skal man have:

$f(i(x)=2i(x)+k=x$

Tilbake til f, har vi da:

$f(g(y))=y+5$

$i(f(g(y)))=\frac{y+5-5+2g(0)}{2}=\frac{y+2g(0)}{2}$

$g(y)=\frac{y+2g(0)}{2}$

$g(x)=\frac{x+2g(0)}{2}$

Dermed trenger vi bare å definere $g(x+f(y)$:

$f(y)=2y-2g(0)+5$

$g(x+f(y)=\frac{x+2y-2g(0)+2g(0)+5}{2}=\frac{x+2y+5}{2}$

Ferdig, og mange beklagelser for den rotete notasjon!

[daofeishi]

Stemmer!