Nullpunkter og trigonometri.

[Matteslusken]

Sitter og gjør oppgaver i trigonometri, og har f.eks netopp gjort følgende oppgave:

Vis nullpkt ved regning:

f(x)=sin x - [symbol:rot] 3cosx-1, x i intervall [0,2 [symbol:pi] ]

Dette går greit å regne ut, og jeg får da at nullpunktet er 90 grader. Det er greit, men så taster jeg inn grafisk på kalkulator for å sjekke, og da ser jeg at det også er et nullpunkt i 210 grader.

Spørsmålet er da:

Hvordan finner jeg nullpunkt nr. 2 ved regning?

Det står i boka at man skal bruke enhetssirkelen, men det er bare et eksempel der, og det er ikke noe lignende det problemet jeg har nå. Har forsøkt å søke en del på nettet for å finne ut av dette, uten hell.

Dersom noen kan hjelpe meg med dette hadde det vært fint.

Det jeg har gjort til nå er å bare prøve meg frem, og ofte er det jo det første nullpunktet + f.eks. 180 grader, men det er jo ikke holdbart på en eksamen.

Takker så meget på forhånd!

[arildno]

Det enkleste er å bruke først summeformelen for sinus og cosinus.

Vi har at [tex]\sqrt{1^{2}+\sqrt{3}^{2}}=\sqrt{1+3}=2[/tex]

Drmed kan vi skrive:
[tex]\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=2(\frac{1}{2}\sin(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)=2(\cos(\frac{\pi}{3})\sin(x)-\sin(\frac{\pi}{3})\cos(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{3})[/tex]

Dermed kan f(x) skrives som:
[tex]f(x)=2\sin(x-\frac{\pi}{3})-1[/tex], og nullpunktene oppfyller derfor:
[tex]0=2\sin(x-\frac{\pi}{3})-1\to\sin(x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}[/tex]

Derfor må vi på enhetssirkelen ha to løsninger:
[tex]x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}\to{x}=\frac{\pi}{2}[/tex]
eller:
[tex]x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}\to{x}=\frac{7\pi}{6}[/tex]
hvor den siste er det samme som 210 grader.

[Matteslusken]

[tex]x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}\to{x}=\frac{7\pi}{6}[/tex]
hvor den siste er det samme som 210 grader.

Takker for utrolig raks og god hjelp. Utregningen som du viste til hadde jeg allerede på stell, så det er greit, men skader absolutt ikke å repetere det!

MEN, det jeg lurer på, og du får unnskylde om dette er et dumt spørsmål.
Først fant vi 90 grader. Skriver grader, og ikke radianer her, fordi det er lettere å huske i grader.

Først fikk jeg jo X+-60grader=30grader, som gir resultatet at X=90grader.

Men så er det det jeg stusser på og som jeg ikke skjønner:

Du skriver plutselig X-60grader = 150 grader, som da gir 210 grader som svar.

Spørsmålet er da, hvordan vet du at du skal velge 150 grader, og ikke 210 grader eller 330 grader?

Er det noen regel som sier at du skal velge 150 grader fra enhetssirkelen i dette tilfellet.

Det er dette jeg har slitt med å forstå. Jeg har alltid fått til minst ett nullpunkt, men så er det det med det andre nullpunktet. Greit nok at du skriver at "Derfor må vi på enhetssirkelen ha to løsninger". Dette er jeg med på. Men hva er det som gjør at man skal velge 150 grader?

Beklager om jeg spør dumt, men dette lurer jeg virkelig på.

Takk igjen på forhånd for all god hjelp!

[arildno]

Du skriver plutselig X-60grader = 150 grader, som da gir 210 grader som svar.

Spørsmålet er da, hvordan vet du at du skal velge 150 grader, og ikke 210 grader eller 330 grader?

Fordi vi har sin(210)=sin(330)=-1/2, mens vi skulle ha sin(blupp)=1/2.

Pga den fortegnsforskjellen, så er det 30 grader og 150 grader vi må velge. (Enhetssirkel)

Er det noen regel som sier at du skal velge 150 grader fra enhetssirkelen i dette tilfellet.

JA!

Husk at for ALLE x-verdier er sin(x)=sin(180-x). (*)

Dette kan du bruke på følgende måte:
Først finner du den x-verdien mellom -90 og 90 grader som gjør at likninger din holder.
For eksempel, skal du løse sin(x)=-1/2, velger du -30 grader (dvs 330 grader!) som første løsning.

Deretter bruker du (*):

Da må også vinkelen 180-(-30)=180+30=210 være en løsning.

[Matteslusken]

...snip...

Det var meget oppklarende! Takk skal du ha! Utmerket hjelp!