Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.
La [tex]n[/tex] være et positivt heltall
Skriv ned alle par av heltallene [tex](a,b)[/tex] hvor:
[tex]1 \leq a < b \leq n[/tex]
[tex]a+b>n[/tex]
[tex]gcd(a,b) =1[/tex]
For hvert slikt [tex](a,b)[/tex] par, beregn [tex]1/ab[/tex]
Vis at summen av disse brøkene vil være lik [tex]1/2[/tex] for alle[tex]n[/tex]
håper spørsmålet ble noe forståelig
Kall tallet du får ved prosessen beskrevet ovenfor s(n).
Påstanden er at [tex]s(n)=\frac 12[/tex] for alle heltall n.
for n=2 har vi bare a=1, b=2, og påstanden stemmer.
Anta at det stemmer for n=k-1.
Så må vi se hvilke par (a,b) som er med for n=k-1, men som ikke er med for n=k. Ser lett at dette er de par hvor a+b=k. (og som oppfyller de øvrige krav) På den annen side er det nye par som er med for n=k, nemlig (c,k), hvor gcd(c,k)=1.
Hvor den første summen går over alle a som er relativt primiske med n, og mindre enn n/2, mens den andre summen går over alle c som er relativt primiske med n.
For å vise at s(k-1)=s(k), ganger vi med 2, og utnytter symmetrien.