Den trippelderiverte av 1/x

[Vektormannen]

Den siste der er helt rett. Bytter du ut 2 med k har du beviset for konstantregelen.

Når det gjelder den deriverte av 1/x så ser jeg ikke helt hva du har gjort. Hvordan kom du frem til [tex]\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\Delta x}{x^2 + x\Delta x}}{\Delta x}[/tex], og hvordan gikk du fra det til neste steg?

Det kan forresten være lurt å gjøre slik som zell, å sette [tex]h = \Delta x[/tex] for å få litt mer oversikt.

[zell]

Du gjør et eller annet feil.

[tex]\lim_{\Delta x\to 0} \ \frac{\frac{x}{x(x+\Delta x)} - \frac{x+\Delta x}{x(x+\Delta x)}}{\Delta x}[/tex]

[tex]\lim_{\Delta x\to 0} \ \frac{\frac{x-x-\Delta x}{x(x+\Delta x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \ \frac{-\cancel{\Delta x}}{x\cancel{\Delta x}(x+\Delta x)} = \lim_{\Delta x\to 0} \ \frac{-1}{x^2 + x\Delta x} = -\frac{1}{x^2}[/tex]

[espen180]

Zell, hva er det du gjør når du går fra steg 2 til 3 i posten din?

(Steg 3 er i dette tilfellet der du stryker [tex]\Delta x[/tex])

[zell]

Jeg deler brøken på delta x.

For det første foretrekker jeg å bruke [tex]h=\Delta x[/tex], det ser så sinnsykt rotete ut med x over alt

Men.

[tex]\frac{\frac{x-x-\Delta x}{x(x+\Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)} \ : \ \frac{\Delta x}{1}[/tex]

Den der kryssganger du, og du ender opp med det resultatet jeg fikk.

[espen180]

Ah, nå ser jeg det. Tusen takk! Jeg visste ikke at man kunne flytte [tex]\Delta x[/tex] over "hovedbrøken" og inn i nevneren.

[Vektormannen]

Men du vet kanskje at man kan utvide hovedbrøken i en brudden brøk med nevneren til småbrøken(e) for å bli kvitt dem? Det han gjør er faktisk det samme som å gange med [tex]x(x+\Delta x)[/tex] i teller og nevner i "hovedbrøken" slik at nevneren i småbrøken forsvinner. Da står du igjen med akkurat det samme.

[espen180]

Jeg vil prøve meg en gang til, for å være viss om at jeg kan det. Jeg skal derivere [tex]\frac{2}{x^2}[/tex]

[tex]\Delta x=h[/tex]

[tex]f^\prime (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}[/tex]

[tex]f^\prime (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{(x+h)^2}-\frac{2}{x^2}}{h}[/tex]

HAr setter jeg inn fellesnevner:

[tex]f^\prime (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2x^2}{x^2(x+h)^2}-\frac{(x+h)^2}{x^2(x+h)^2}}{h}[/tex]

Her trekker jeg sammen småbrøkene:

[tex]f^\prime (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2x^2-(x+h)^2}{x^2(x+h)^2}}{h}[/tex]

Her deler jeg teller og nevner på [tex]x[/tex]

[tex]f^\prime (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2x-(x+h)^2}{x(x+h)^2}}{h}[/tex]

Her forlenger jeg parantesene:

[tex]f^\prime (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2x-(x^2-2xh+h^2)}{x(x^2-2xh+h^2)}}{h}[/tex]

Her forkorter jeg nevneren på småbrøken:

[tex]f^\prime (x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2x-x^2-2xh+h^2}{x^3-2x^2 xh^2}}{h}[/tex]

Nå står jeg fast. Har jeg gjort feil igjen? I så fall hvor? Hvis jeg har gjort alt riktig hittil, hvordan fortsetter jeg.

På forhånd takk.

[Vektormannen]

Du har glemt faktoren 2 i den ene brøken når du setter småbrøkene på felles brøkstrek. Videre ser jeg heller ikke hvorfor du deler på x, og du gjør det såvidt jeg kan se ikke rett. Du må jo gjøre det i begge leddene i telleren til småbrøken? I stedet for å prøve å korte på den måten, ville jeg heller forlenget parantesene, og se om noen av leddene kan strykes i telleren til småbrøken.