Sliter med følgende:
[symbol:sum] [sup] [symbol:uendelig] [/sup]n=0[sub][/sub] (-1)^n/2n + 1= [symbol:pi] /4
(-1)^n kan skrives som cos(n [symbol:pi] ), kan noen gi et bidrag til hvordan man evt viser at uttrykket stemmer? Jeg har så langt strandet på at dette ikke kan stemme....
På forhånd takk!
Rekke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Antar du mener [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{2n+1}[/tex], og ikke [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n}{2n}+1[/tex], som du faktisk har skrevet. Det er greit nok at du ikke kan tex, men da må du være nøye med å bruke paranteser og eventuelt sub/sup for å gjøre notasjonen din éntydig.
Dette er Leibniz' rekke, og summen konvergerer til [tex] \frac {\pi}{4}[/tex], skjønt ekstremt sakte. Har ikke tid til å skrive alle detaljene nå, men du kan se litt på integralet til [tex]\frac {1}{1+x^2}[/tex] mellom 0 og 1.
[tex]cos n\pi[/tex] var også litt interessant. Kanskje går det også an å bruke en Fourier-rekke har. Det er som kjent mange måter å flå en katt på.
Dette er Leibniz' rekke, og summen konvergerer til [tex] \frac {\pi}{4}[/tex], skjønt ekstremt sakte. Har ikke tid til å skrive alle detaljene nå, men du kan se litt på integralet til [tex]\frac {1}{1+x^2}[/tex] mellom 0 og 1.
[tex]cos n\pi[/tex] var også litt interessant. Kanskje går det også an å bruke en Fourier-rekke har. Det er som kjent mange måter å flå en katt på.
Denne er grei med genererende funksjoner.
Det vi ønsker er [tex]G(x) = \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{n}}{2n+1}[/tex] evaluert ved x = -1.
Dette er det samme som [tex]H(x) = \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{2n}}{2n+1} = \frac{1}{x} \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}[/tex] evaluert ved x = i
Vi ser at
[tex] H(x) = \frac{1}{x} \int \frac{1}{1-x^2} \rm{d}x = \frac{1}{x}(\rm{arctanh(x)} + C)[/tex]
Og vi ser ved å ta for oss x=0 at C må være 0.
Dermed har vi at [tex]H(x) = \frac{1}{x} \rm{arctanh(x)}[/tex]
Da får vi at [tex]G(-1) = H(i) = \frac{1}{i} \rm{arctanh}(i)[/tex], og du kan fylle inn detaljene selv og se at dette gir resultatet [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]
Det vi ønsker er [tex]G(x) = \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{n}}{2n+1}[/tex] evaluert ved x = -1.
Dette er det samme som [tex]H(x) = \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{2n}}{2n+1} = \frac{1}{x} \sum _{n=0} ^\infty \frac{x^{2n+1}}{2n+1}[/tex] evaluert ved x = i
Vi ser at
[tex] H(x) = \frac{1}{x} \int \frac{1}{1-x^2} \rm{d}x = \frac{1}{x}(\rm{arctanh(x)} + C)[/tex]
Og vi ser ved å ta for oss x=0 at C må være 0.
Dermed har vi at [tex]H(x) = \frac{1}{x} \rm{arctanh(x)}[/tex]
Da får vi at [tex]G(-1) = H(i) = \frac{1}{i} \rm{arctanh}(i)[/tex], og du kan fylle inn detaljene selv og se at dette gir resultatet [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]