Dette er et integral fra Putnam-konkurransen i 1992:
La [tex] C(\alpha)[/tex] være koeffisienten til [tex]x^{1992}[/tex] i potensrekken rundt x=0 av [tex](1+x)^\alpha[/tex] Finn:
[tex]\int _0 ^1 \left( C(-y-1)\sum _{k=1}^{1992} \frac{1}{y+k}\right) \rm{d}y[/tex]
Putnam-integral
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Denne plager meg noe!daofeishi wrote:Dette er et integral fra Putnam-konkurransen i 1992:
La [tex] C(\alpha)[/tex] være koeffisienten til [tex]x^{1992}[/tex] i potensrekken rundt x=0 av [tex](1+x)^\alpha[/tex] Finn:
[tex]\int _0 ^1 \left( C(-y-1)\sum _{k=1}^{1992} \frac{1}{y+k}\right) \rm{d}y[/tex]
Skulle gjerne hatt litt mer hint her. Kan man studere Taylor rekka? Er svaret 1992, mon tro?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Posts: 142
- Joined: 29/10-2007 22:02
Svaret er nok ikke 1992:
Først
[tex]\displaystyle C(\alpha)= \prod_{l=1}^{1992} \frac {\alpha-l+1}{l}[/tex]
er en generell binomialkoeffisient, så
[tex]\displaystyle C(-y-1) = \prod_{l=1}^{1992} \frac {-y-l}{l} = \prod_{l=1}^{1992} \frac {y+l}{l}[/tex]
Så går vi tilbake til integralet,
[tex]\displaystyle I = \int_0^1 \left(C(-y-1) \sum_{k=1}^{1992} \frac {1}{y+k}\right) \rm{d}y = \int_0^1 \left(\prod_{l=1}^{1992} \frac {y+l}{l} \cdot \sum_{k=1}^{1992} \frac {1}{y+k}\right) \rm{d}y[/tex]
Flytter [tex]\frac {1}{1992!}[/tex] utenfor integralet, og gjenkjenner resten av integranden som den deriverte av [tex]\displaystyle \prod_{k=1}^{1992}{y-k}[/tex]
Dermed har vi altså
[tex]\displaystyle I=\frac{1}{1992!}\cdot \left[\prod_{k=1}^{1992}y-k\right]_0^1= \frac {0\normal-\prod_{k=1}^{1992}(-k)}{1992!}=-1[/tex]
Først
[tex]\displaystyle C(\alpha)= \prod_{l=1}^{1992} \frac {\alpha-l+1}{l}[/tex]
er en generell binomialkoeffisient, så
[tex]\displaystyle C(-y-1) = \prod_{l=1}^{1992} \frac {-y-l}{l} = \prod_{l=1}^{1992} \frac {y+l}{l}[/tex]
Så går vi tilbake til integralet,
[tex]\displaystyle I = \int_0^1 \left(C(-y-1) \sum_{k=1}^{1992} \frac {1}{y+k}\right) \rm{d}y = \int_0^1 \left(\prod_{l=1}^{1992} \frac {y+l}{l} \cdot \sum_{k=1}^{1992} \frac {1}{y+k}\right) \rm{d}y[/tex]
Flytter [tex]\frac {1}{1992!}[/tex] utenfor integralet, og gjenkjenner resten av integranden som den deriverte av [tex]\displaystyle \prod_{k=1}^{1992}{y-k}[/tex]
Dermed har vi altså
[tex]\displaystyle I=\frac{1}{1992!}\cdot \left[\prod_{k=1}^{1992}y-k\right]_0^1= \frac {0\normal-\prod_{k=1}^{1992}(-k)}{1992!}=-1[/tex]
Jeg synes I = -1 er et "rart" svar på ett bestemt integral! Tror svaret ditt skal være 1993 - 1 = 1992.
OK, ett forslag her:
[tex]\displaystyle I \, = \, \int_0^1 \left(C(-y-1) [\frac{1}{y+1}\,+\,\frac{1}{y+2}\,+\,\frac{1}{y+3}\,+\,...+\,\frac{1}{y+1992}] \right)\, {\rm dy}[/tex]
[tex]C(\alpha) \, =\, {\alpha \choose 1992} = \frac{\alpha (\alpha -1 )(\alpha -2)\,...\,(\alpha - 1991)}{1992!}[/tex]
[tex]C(-y-1) \, = \, \frac{ (-y -1 )(-y -2)\,...\,(-y- 1992)}{1992!}\, =\, \frac{(y+1)(y+2)\,...\,(y+1992)}{1992!}[/tex]
innfører så f(y) = (y+1)(y+2)(y+3) ... (y+1992)
og utfører logaritmisk derivasjon:
[tex]\frac{f^,(y)}{f(y)}\,=\,\frac{1}{y+1}\,+\,\frac{1}{y+2}\,+\,...\,+\,\frac{1}{y+1992}[/tex]
videre gir dette integralet:
[tex]I\,=\,\frac{1}{1992!}\,\int_0^1 f(y)\,\frac{f^,(y)}{f(y)}\,{\rm dy}\,=\,\frac{1}{1992!}\,\int_0^1 f^,(y)\,{\rm dy}\,=\,\frac{1}{1992!}\,[f(y)]_0^1\,=\,\frac{1}{1992!}\,[1993!\,-\,1992!]\,=\,1993\,-\,1\,=\,1992[/tex]
OK, ett forslag her:
[tex]\displaystyle I \, = \, \int_0^1 \left(C(-y-1) [\frac{1}{y+1}\,+\,\frac{1}{y+2}\,+\,\frac{1}{y+3}\,+\,...+\,\frac{1}{y+1992}] \right)\, {\rm dy}[/tex]
[tex]C(\alpha) \, =\, {\alpha \choose 1992} = \frac{\alpha (\alpha -1 )(\alpha -2)\,...\,(\alpha - 1991)}{1992!}[/tex]
[tex]C(-y-1) \, = \, \frac{ (-y -1 )(-y -2)\,...\,(-y- 1992)}{1992!}\, =\, \frac{(y+1)(y+2)\,...\,(y+1992)}{1992!}[/tex]
innfører så f(y) = (y+1)(y+2)(y+3) ... (y+1992)
og utfører logaritmisk derivasjon:
[tex]\frac{f^,(y)}{f(y)}\,=\,\frac{1}{y+1}\,+\,\frac{1}{y+2}\,+\,...\,+\,\frac{1}{y+1992}[/tex]
videre gir dette integralet:
[tex]I\,=\,\frac{1}{1992!}\,\int_0^1 f(y)\,\frac{f^,(y)}{f(y)}\,{\rm dy}\,=\,\frac{1}{1992!}\,\int_0^1 f^,(y)\,{\rm dy}\,=\,\frac{1}{1992!}\,[f(y)]_0^1\,=\,\frac{1}{1992!}\,[1993!\,-\,1992!]\,=\,1993\,-\,1\,=\,1992[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Posts: 142
- Joined: 29/10-2007 22:02
Du har selvfølgelig helt rett. Jeg hadde en fortegnsfeil der, det skulle vært [tex]\displaystyle \prod_{k=1}^{1992}y+k[/tex]
