Vinkler i en trekant
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Tre punkter [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] plasseres på grensen til en sirkel. Punktene kobles sammen til trekanten [tex]\triangle ABC[/tex] med linjene [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] slik at hvert punkt får en vinkel [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] og [tex]\gamma[/tex]. Hvert av punktene [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] kan flyttes rundt på sirkelskiven, men kun rundt grensen.
Hvilke vinkler må trekanten [tex]\triangle ABC[/tex] ha for å dekke et så stort areal i sirkelen som mulig?
Vet ikke helt om jeg kan forklare det.
Jeg tenkte at siden vinkelsummen i en trekant er 180 grader, så må hver vinkel være 60 grader for å få trekanten til å strekke seg over så mye flate som mulig, hvis du skjønner.
Det er helt sikkert en matematisk forklaring på det, men den må du nok spørre noen andre etter
Jeg tenkte at siden vinkelsummen i en trekant er 180 grader, så må hver vinkel være 60 grader for å få trekanten til å strekke seg over så mye flate som mulig, hvis du skjønner.
Det er helt sikkert en matematisk forklaring på det, men den må du nok spørre noen andre etter
Om [tex]O[/tex] er sentrum i sirkelen og [tex]R[/tex] er radiusen, har du at arealet av trekanten kan utrykkes som:
[tex]\frac{1}{2} R^2 (sin(\angle AOB)+ sin(\angle BOC)+ sin(\angle COA))[/tex]
Du kan bruke Jensens ulikhet til å vise at trekantens areal maksimeres når [tex]\angle AOB= \angle BOC= \angle COA=120^o[/tex] (du ser på [tex]f(x)=sin x[/tex] som er en konkav fuksjon i [0, 180]). Dette er ekvivialent med at du har en likesidet trekant.
Dette stemmer ihvertfall når [tex]\angle AOB, \angle BOC, \angle COA <180^o [/tex]
[tex]\frac{1}{2} R^2 (sin(\angle AOB)+ sin(\angle BOC)+ sin(\angle COA))[/tex]
Du kan bruke Jensens ulikhet til å vise at trekantens areal maksimeres når [tex]\angle AOB= \angle BOC= \angle COA=120^o[/tex] (du ser på [tex]f(x)=sin x[/tex] som er en konkav fuksjon i [0, 180]). Dette er ekvivialent med at du har en likesidet trekant.
Dette stemmer ihvertfall når [tex]\angle AOB, \angle BOC, \angle COA <180^o [/tex]