To spørsmål om (20!)^2

[Markonan]

Vi har tallet $(20!{)}^2$.

1) Finn primtallsfaktoriseringen til dette tallet.
2) Hvor mange nuller er det i slutten av tallet?

Skal selvfølgelig vises ved regning. Kan legge ut noen hint etter behov.

[Knuta]

$(20!{)}^2=2^{36}\cdot 3^{16}\cdot 5^8\cdot 7^4\cdot {11}^2\cdot {13}^2\cdot {17}^2\cdot {19}^2$

5^8 i dette tillfelle avgjør at det er 8 nuller

[Markonan]

Joda, er riktig, men savnet selve utregningen. Er jo greit å se for de som ikke kan regne dette. Selv om det er kjempelett.

[groupie]

Det finnes altså en bedre måte enn å slite seg gjennom samtlige baser?

[Markonan]

Nei, tenkte heller på at man viste hvordan man satt det opp og tenkte etc.

[sEirik]

$20!=2\cdot 3\cdot (2^2)\cdot 5\cdot (2\cdot 3)\cdot 7\cdot (2^3)\cdot (3^2)\cdot (2\cdot 5)\cdot 11\cdot (2^2\cdot 3)\cdot 13\cdot (2\cdot 7)\cdot (3\cdot 5)\cdot (2^4)\cdot 17\cdot (2\cdot 3^2)\cdot 19\cdot (2^2\cdot 5)$

Så er det bare å telle opp faktorene..

$2^{1+2+1+3+1+2+1+4+1+2}=2^{18}$

$3^{1+1+2+1+1+2}=3^8$

$5^{1+1+1+1}=5^4$

$7^{1+1}=7^2$

${11}^1$

${13}^1$

${17}^1$

${19}^1$

$20!=2^{18}\cdot 3^8\cdot 5^4\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19$

Og når vi kvadrerer er det bare å doble eksponentene i hver faktor.

$(20!{)}^2=2^{36}\cdot 3^{16}\cdot 5^8\cdot 7^4\cdot {11}^2\cdot {13}^2\cdot {17}^2\cdot {19}^2$

Vi får én null for hvert par (5 x 2) i primtallsfaktoriseringen. (Siden det tilsvarer å gange med 10)

Siden det blir 8 par (5 x 2) blir det som sagt ovenfor 8 nuller til slutt.

------------

Ny oppgave: Man skal faktorisere n!. Finn multiplisiteten (antall faktorer av) det k-te primtallet i faktoriseringen. Har ikke løsningen her nå, men husker at jeg og TrulsBR løste denne for lenge siden.

[Zivert]

Du kan jo også prøve å finne hvor mange nuller tallet $n!$ ender på

[Charlatan]

Blir ikke det bare $\lfloor \frac{n}{5}\rfloor$, eller $n-[n(\text{mod}5)]$ da man alltid har et "overskudd" av 2-tall.

[mrcreosote]

Blir ikke det bare $\lfloor \frac{n}{5}\rfloor$, eller $n-[n(\text{mod}5)]$ da man alltid har et "overskudd" av 2-tall.

Dette holder når n er høyst 24.

[Charlatan]

klart, tenkte ikke så langt.
Det blir vel snarere:

$\text{Missing open brace for subscript}$

har ikke tenkt så lenge på det.

[Zivert]

Desverre ikke helt riktig, et moteksempel er $n=1$

[Charlatan]

selvfølgelig,
$\text{Missing open brace for subscript}$

[mrcreosote]

selvfølgelig,
$\text{Missing open brace for subscript}$

Dette holder når n er høyst 24.

[Zivert]

Nei, dette stemmer også for $n=[32,49]$... eller?

[Charlatan]

jajaja

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{n}{5^k}\rfloor$

eller alternativt,

$\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{ln(n)}{\ln (5)}\rfloor }\lfloor \frac{n}{5^k}\rfloor$

hvis ikke det er riktig må jeg kanskje tenke litt mer på det