Hvilken er størst?

[Magnus]

Mange av dere har sikkert sett denne før, men oppgaven er vel artig for noken.

Hvilket tall er størst av $e^{\pi }$ og ${\pi }^e$?

[espen180]

Kan denne kun løses med en kalkulator, eller finnes det en "analog" utregning?

[espen180]

Kan denne kun løses med en kalkulator, eller finnes det en "analog" utregning?

[mrcreosote]

Alt som kan løses med kalkulator, kan også løses uten.

[sEirik]

Er man inne på noe hvis man bruker 2 < e < 3 < pi < 4 (eller trenger man en mer nøyaktig ulikhet) og så litt triksing med logaritmer?

[Janhaa]

Hvis man antar at

$e^{\pi }\text{g}{\pi }^e$

tar ln på begge sider:

$\ln (e{)}^{\pi }\text{g}\ln (\pi {)}^e$

$\pi \ln (e)\text{g}e\ln (\pi )$

og skriver deretter

$e<\frac{\pi }{\ln (\pi )}$

skriver nå høyre sida som $f=\frac{x}{\ln (x)}$

deriverer nå f og finner min, dvs

$f^{,}=\frac{\ln (x)-1}{{\ln }^2(x)}=0$

ln(x) = 1 og x = e
Siden [symbol:pi] > e vil

$e<\frac{\pi }{\ln (\pi )}$

og

$e^{\pi }\text{g}{\pi }^e$

holder dette...?

[Bogfjellmo]

Den er god, den. Merk at det ikke er nødvendig at $x>e$, bare at $x\ne e$.

For alle $x\ge 0$ holder

$e^x\ge x^e$

med likhet hvis og bare hvis x=e.

EDIT: trenger vel et ekstra bevis for $0\le x\le 1$, men det er bare å finne minimumen for $x-e\cdot \ln x$