Noen detaljer vedrørende vektorfunksjoner

[Jippi]

Tre simple spørsmål fra en 3mx elev!

1) Hvordan regner man ut buelengde på kalkulatoren? (Har casio)

Oppgaven lyder som følger:
Bruk lommeregneren til å finne buelengden på kurven
r(vektorpil over r)(t) = [-2t,t^2] for t fra -2 til 3.

2) Har et eksempel iboka her der det står at:

r(vektorpil over r)(t) = [R cos t, R sin t]
r(vektorpil over r)'(t) = [-Rsint, Rcost]

|r(vektorpil over r)'(t)| = |[-Rsint, Rcost]| = [symbol:rot][ (-Rsint)^2 + (Rcost)^2] = R

Spørsmåle mitt er:

Hva gjør boka i siste utregning her. Kan du stryke sin t og cos t?? Hva skjer? (Hadde blitt takknemmelig hvis noen hadde vist meg mellomregninger + forklaring)

3) Hva blir da |r(vektorpil over r)'(t)| = |[-5sint, 2cost]| = [symbol:rot][ (--5sint)^2 + (2cost)^2] = ? ? Hva blir svaret her?


På forhånd tusen takk.

[Vektormannen]

Hvor mener du at de stryker sin t og cos t? Så ikke den siste likheten deri nei ...

[golly]

${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$

og du får:

$\sqrt{R^2{\sin }^{2}t+R^2{\cos }^{2}t}=R\sqrt{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}=R\cdot \sqrt{1}=R\cdot 1=R$

Du stryker det altså ikke, du bare skriver om. Skjønner?

[Jippi]

Aha genialt! Men kan da noen hjelpe meg med 3) ?

[Dinithion]

$si{n}^{2}t+co{s}^{2}t=1\Rightarrow co{s}^{2}t=1-si{n}^{2}t$

Bytt ut cos med sinus, gang ut og trekk sammen.

[Jippi]

Da har jeg prøvd dette du sa, og kommet frem til:
|r(med vektorpil over "r-bokstaven")| = [symbol:rot] (-5sint)^2 + (2cost)^2
= [symbol:rot]( (-5)^2 * (sint)^2 + (2)^2 * (cost)^2)
Sette inn det du sa om cos.
= [symbol:rot]( (-5)^2 * (sint)^2 + (2)^2 * 1 - (sint)^2)
= [symbol:rot] (25(sint)^2 + 4 - 4(sint)^2)
=5sin t + 2 - 2 sin t
=3 sin t + 2

Når jeg setter dette i bulengdeformelen og tar t verdier fra 0 til 2 [symbol:pi] så får jeg ikke rett.
s = [symbol:integral] (bestemt integral fra 0 til 2 [symbol:pi]) 3 sint +2

HJELP!

Hva gjør jeg feil?

[Vektormannen]

Det er ingen regel som sier at $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Det ser ut som du har gått ut i fra at det stemmer.

[Charlatan]

hva er dette?

= √ 25sin^2t + 4 - 4sin^2t
=5sin t + 2 - 2 sin t

[Jippi]

Det er ingen regel som sier at $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Det ser ut som du har gått ut i fra at det stemmer.

Kan da noen vise meg hvordan jeg regner denne ? Skjønner ikke, når du ikke kan gjøre det!

[Jippi]

hva er dette?

= √ 25sin^2t + 4 - 4sin^2t
=5sin t + 2 - 2 sin t

Har rettet opp nå. Kvadratroten er over hele stykket!

[Charlatan]

Skjønner det, men det ser ut som at du har leddvis tatt røttene. Det er forresten ingen som sier at den forkortede formen ikke kan være under et rottegn. Det byr vel ikke på noen problemer om du integrerer ved hjelp av kalkulator.

[Jippi]

Er det noen som er kapable til å regne ut dette LENGER enn:

= √ 25sin^2t + 4 - 4sin^2t

...eller skal man ikke gjøre det?

[Vektormannen]

Du kan da trekke det i sammen hvertfall, $25si{n}^{2}t-4si{n}^{2}t=21si{n}^{2}t$

[Jippi]

Du kan da trekke det i sammen hvertfall, $25si{n}^{2}t-4si{n}^{2}t=21si{n}^{2}t$

Hvor i all verden gjør du av + 4 ?

Og en annen ting; Er det noen her inne som klarer å regne ut selve buelengden?

Muligens vanskelig? Jeg vet ikke.

Fasitsvaret er at buelengden er 23,0!

[Vektormannen]

4 skjer det vel ingenting med. Jeg viste egentlig bare hva du kunne trekke sammen. Men hele uttrykket sammentrukket blir da:

$\sqrt{21{\sin }^{2}t+4}$