Nok en likning...

[MatteNoob]

Hallo i luken.

Jeg har nettopp løst denne likningen:

[tex]e^{2x} + 3e^x = 0[/tex]

[tex](e^x)^2 + 3e^x = 0[/tex]

[tex]e^x(e^x + 3) = 0[/tex]

[tex]e^x = 0 [/tex] V [tex]e^x = -3[/tex]

Likningen har ingen løsning

Dette er korrekt i følge fasit, neste likning derimot, har jeg større problemer med. Jeg vil løse den på samme måte, men forstår ikke hvordan jeg skal gjøre det. Her er likningen:

[tex]3e^{2x} - 2e^x = 0[/tex]

Jeg forsøker å gjøre det samme som forrige gang:

[tex]3(e^x)^2 - 2e^x = 0[/tex]

Her begynner det imidlertid å stokke seg litt, men jeg prøver videre:

[tex]e^x(3e^x - 2) = 0[/tex]

Jeg vet ikke hvorfor, men jeg liker ikke at [tex]3e^x[/tex] står inne i parantesen. Gjør ikke det oppgaven værre å løse? Jeg forsøker å endre uttrykket til:

[tex]3e^x(e^x - \frac23) = 0[/tex] Er dette bedre enn likningen ovenfor?

Problemet mitt nå, er at jeg ikke fatter hvordan jeg skal komme frem til svaret. Jeg vet jo at det ene svaret er [tex]e^x = 0[/tex], men [tex]e^x > 0[/tex] så det er ikke riktig.

Kan noen være så snill å forklare grundig hvordan jeg skal angripe denne og hvordan dere ressonerer for å komme dit trinn for trinn?

[Emilga]

Jeg kan ikke regne med e enda, men kanskje dette hjelper:

[tex]3(e^x)^2 - 2e^x = 0[/tex]

vi setter [tex]u= e^x[/tex]

[tex]3u^2 - 2u = 0[/tex]

[Olorin]

Du har jo gjort alt helt rett, Den ene løsningen er ikke gyldig iom at e^x kan ikke være lik 0.

Den løsningen du sitter igjen med er den eneste løsningen på likningen.

[tex]e^x-\frac23=0\,\ \Rightarrow\,\ e^x=\frac23\,\ \Rightarrow\,\ \ln(e^x)=\ln(\frac23)\,\ \Rightarrow\,\ x=\ln(2)-\ln(3)[/tex]

[MatteNoob]

[tex]3e^x(e^x - \frac23) = 0[/tex]

Den løsningen du sitter igjen med er den eneste løsningen på likningen.

[tex]e^x-\frac23=0\,\ \Rightarrow\,\ e^x=\frac23\,\ \Rightarrow\,\ \ln(e^x)=\ln(\frac23)\,\ \Rightarrow\,\ x=\ln(2)-\ln(3)[/tex]

Men hvordan kan du bare fjerne [tex]3e^x[/tex] fra likningen slik du gjør her?

[Vektormannen]

Du skal finne når produktet av [tex]3e^x[/tex] og [tex](e^x - \frac{2}{3})[/tex] blir 0. Da må en av faktorene være 0. Men vi kan med en gang ekskludere [tex]3e^x[/tex], for denne kan aldri bli 0! Dersom du ikke oppdager dette kan du jo fortsette med de to ligningene du får. Den ene viser Olorin løsningen på, og den andre gir:

[tex]3e^x = 0[/tex]

[tex]e^x = 0[/tex]

[tex]x = \ln(0)[/tex]

Men [tex]\ln(0)[/tex] er ikke en definert operasjon, og dermed fører ikke denne faktoren til noe nullpunkt.

[MatteNoob]

Kjære Vektormannen
Du er veldig god på å forklare tingene på en konkret og god måte, tusen takk. Jeg tok 1MY i fjor, og skal nå forsøke meg på 2MX som privatist. Læreren i fjor lærte oss det jeg kaller "overfladisk" matematikk, han gikk ikke i dybden og forklarte hvorfor ting ble slik, men sa bare: Gjør sånn og sånn, så blir det sånn, hehehe.

For å se om jeg har forstått det du sier nå, kommer jeg med et litt enklere eksempel, og jeg håper du kan verifsere det eller avslå det.

[tex]e^x + \frac{1}{e^x} = 2[/tex]

[tex]e^x(e^x + \frac{1}{e^x}) = 2 \cdot e^x[/tex]

[tex]e^{2x} + e^x - 2e^x = 0[/tex]

Jeg setter [tex]e^x = u[/tex]

[tex]u^2 - u = 0[/tex]

[tex]u(u - 1) = 0[/tex]

Jeg står nå igjen med to faktorer (eller likninger) hvor:

a) [tex]u = 0[/tex]

b) [tex]u - 1 = 0[/tex]

I a er selvsagt u = 0, men u>0 derfor er ikke det en løsning.
I b er u = 1 som gir:

[tex]ln 1=0[/tex]

Korrekt?