Trekant i et koordinatsystem

[espen180]

Tre funksjoner $f(x)$, $g(x)$ og $h(x)$ danner en trekant i et koordinatsystem.

$f(x)=x-\frac{1}{2}$
$g(x)=-2x+3$
$h(x)=3x-1$

1) Finn skjæringspunktene ved regning
2) Finn arealet av trekanten ved regning

[Emilga]

Sett f(x) = g(x) for å få ett skjæringspunkt. Sett f(x) = h(x) for å finne det andre, og sett g(x) = h(x) for å finne det siste punktet.

[espen180]

Det der holder ikke, Emomilol. Du har bare vist hvordan man finner x-verdien til skjæringspunktene.

[=)]

og så sette dem inn i de respektive funksjonene da.

[Dinithion]

Jeg har ikke dobbelsjekket om det er rikitg, jeg er ganske sulten og har lyst på mat. Det kan ha gått fort i svingene, men svaret virker ikke urimelig. Latex er også ganske slitsomt, så jeg tok ikke med alle mellomregninger.

$f(x)=g(x)=x-\frac{1}{2}=-2x+3\Rightarrow x=\frac{7}{6}$

$f(x)=g(x)=x-\frac{1}{2}=3x-1\Rightarrow x=\frac{1}{4}$

$g(x)=h(x)=-2x+3=3x-1\Rightarrow x=\frac{4}{5}$

$A(\frac{7}{6},f(\frac{7}{6}))=A(\frac{7}{6},\frac{2}{3})$

$B(\frac{1}{4},f(\frac{1}{4}))=B(\frac{1}{4},-\frac{1}{4})$

$C(\frac{4}{5},g(\frac{4}{5}))=C(\frac{4}{5},\frac{7}{5})$

$\overrightarrow{BA}=[\frac{11}{12},\frac{11}{12}]|\overrightarrow{BA}|=1,296$

$\overrightarrow{BC}=[\frac{11}{20},\frac{33}{20}]|\overrightarrow{BC}|=1,739$

$\mathrm{\angle }BCA=arccos(\frac{\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BC}|\cdot |\overrightarrow{BA}|})=arccos(\frac{2,02}{2,254})=26,3$

$A=\frac{1}{2}1,296\cdot 1,739\cdot sin26,3=0,50$

[Vektormannen]

Brukte vektorer jeg også, og kom frem til det samme arealet, og geogebra er enig. Men tror du har regnet $g(\frac{4}{5})$ ut feil. Det skal vel bli 7/5.

[Dinithion]

Bra oppservert. Det var bare feil avskrift fra kladdearket

[Olorin]

Ved integrasjon fikk jeg arealet til å bli $\frac{403}{720}=0.56$

edit: Det var som pokker

[espen180]

Riktig, Dinithion og Vektormannen. Arealet er 0.50417.

Personlig brukte jeg trigonometri da jeg lagde oppgaven. Bra jobba.

[mrcreosote]

Dere kan jo prøve å generalisere:

Gitt 3 linjer

r(x)=ax+b
s(x)=cx+d
t(x)=ex+f

der ingen er parallelle (dvs $a\ne c\ne e\ne a$), finn arealet til den endelige trekanten disse 3 linjene definerer.

Noen tips (som du kan ta for gitt eller prøve å vise sjøl om du vil): En trekant i planet med hjørner $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ har areal

$\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{cccc}& x_1& y_1& 1\\ & x_2& y_2& 1\\ & x_3& y_3& 1\end{array}\right||=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_2{y}_3-x_3{y}_2+x_3{y}_1-x_1{y}_3|$

Jeg utelukker ikke griseregning her, men svaret som kommer til slutt i slikt har en tendens til å bli overraskende pent.