vektorfunksjoner

[gill]

regn ut vinkelen mellom v2(t) og z-aksen. Hva betyr det geometrisk at denne vinkelen alltid er like stor?

v2 (t)= [cos(5lnt)-5 sin(5lnt), sin (5lnt) + 5 cos(5lnt), 1]

[Charlatan]

Hint: Prøv å omgjøre de to første komponentene til kun én trigonometrisk funksjon. Da ser du hvordan du kan tolke kurven til funksjonen.

[gill]

Vel jeg skjønner at z er konstant og at forholdet mellom den og retningsvektoren gir vinkelen men hvordan finner man vinkelen. Lengden til vektoren var konstant uansett t. hvordan finner vinkelen?

[Charlatan]

Hvordan finner man vinkelen mellom to vektorer? Prøv med en vektor paralell med z-aksen og vektoren din.

[gill]

Men for meg virker det som om v2 har forskjellig retning i planet for hver t-verdi? Mens lengden til v2 er konstant?

[Charlatan]

Ja selvfølgelig. Vektorkurven er en sirkel om z-aksen parallell med xy-planet. Denn vil ha lik lengde fra origo hele tiden. Og tenk nå på hvilken vinkel du skal finne. Mellom z-aksen og kurven, denne vil klart være konstant etter det jeg sa. Prøv å regn på det først iallefall.

[gill]

Jeg har tenkt mye på denne oppgaven men skjønner ikke hvordan man skal løse den. Fartvektoren må jo alltid være i z er lik=1 for at den skal skjære z-aksen må både x og y være lik null. Og å bruke buelengde utregning gir ikke noen mening fordi det ikke er en vektor med forskjellig t vi skal regne ut. Er dette rikitg?

Hvordan får man x og y til å bli null for fartsvektoren i så fall?

[Charlatan]

La oss si du har en tilfeldig vektor v=[a,b,c]. Du finner vinkelen mellom denne og z-aksen ved å bruke definisjonen for punktproduktet. Bruk at z aksen og vektoren r=[0,0,1] er paralelle. Jeg regner med du vet hvordan du gjør dette. Sett nå inn for a,b,c de verdiene du har. Du vil se at mye kanselleres, og du vil til slutt ende opp med en konstant. Deretter finner du lengden til vektoren. Du vil også se at denne er konstant. Da er cosX=konstant, (X er vinkelen) og da må følgelig X være konstant.

Gjør utregningen.

[gill]

Ok jeg regner med at punktproduktet er skalarproduktet. Jeg fikk vinkelen 78,93. men jeg skulle trodd det vile ha blitt 90 grader siden z alltid er 1 i v2. Men det var kanskje riktig?

[Charlatan]

stemmer det.

Men du kan også gjøre dette på en mye enklere måte. Hvis du omgjør funksjonen til en velkjent funksjon for en sirkel, ser du at radiusen må være [symbol:rot]26. Dessuten er lengden fra origo til sentrum av sirkelen 1. Da må vinkelen være arctan( [symbol:rot](26)/1)[symbol:tilnaermet]78.93

[gill]

Ok da er det bare jeg som ikke har forstått oppgaven helt heller. når man skriver regn ut vinkelen mellom v2(t) og z-aksen mener man altså vinkelen fra origo til "toppunktet" av fartsvektoren? Arctan vet jeg ikke hva er heller

[Charlatan]

arctan er invers tangens. Nei, det er ikke så enkelt, vi regner jo vinkelen langs z-aksen. Men den går gjennom origo, men vi vet også at sentrum av sirkelen ligger på z-aksen, så det blir det samme. Ingen vitså blande fartsvektoren inn. Vi regner vinkelen mellom z-aksevektoren og posisjonsvektoren.

[gill]

Det er mye jeg fortsatt klør meg i hodet over denne oppgaven med

Når det står mellom fartsvektoren og z-planet hvordan regner man den da utifra posisjonsvektoren? Jeg skjønner arctan tangens nå i hvert fall.

[Charlatan]

Jeg vet ikke hva vektoren din er. Mulig jeg har kalt den posisjonsvektor når den i oppgaven skal være en fartsvektor. Uansett, en vektor er en vektor, og jeg mener den vektoren du skrev i begynnelsen.
Regn ut vinkelen mellom denne og z-aksen.

[gill]

Ok da har jeg i hvert fall skjønt det. Men vektoren er jo alltid i z=1 hvordan kan den da gå igjennom origo?