Sliter litt med denne oppgaven:
Et rektangel med sider x og y har en omkrets på 36 cm. Det skal rulles til en sylinder med høyde y og omkrets x
a) Forklar at [tex]y=18-x[/tex]
b) Vis at volumet av sylinderen kan uttrykkes ved [tex]V=\frac{x^2}{4 \pi}(18-x)[/tex]
c) Bestem x slik at sylinderen får størst mulig volum.
Det jeg har gjort:
a) [tex]2x+2y=36[/tex]
[tex]2y=36-2x[/tex]
[tex]y=18-x[/tex]
b) [tex]V=r^2 \pi h[/tex]
[tex]V=\frac{x}{2 \pi}^2 \pi y[/tex]
[tex]V=\frac{x^2}{4 \pi^2}\pi (18-x)[/tex]
[tex]V=\frac{x^2 \cancel{\pi}}{4 \pi^{\cancel{2}}}(18-x)[/tex]
[tex]V=\frac{x^2}{4 \pi}(18-x)[/tex]
c) [tex]V^\prime=\frac{x(18-x)}{2 \pi} + \frac{x^2}{4 \pi}[/tex]
Nå prøver jeg å finne et nullpunkt, meen det eneste jeg finner er litt over 18, som er etter volumet trekker seg tilbake til null. Har jeg derivert feil?
Optimering
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Ja,
[tex]V^\prime = \left(\frac{x^2(18-x)}{4\pi}\right)^\prime = \frac{1}{4\pi} \cdot (18x^2 - x^3)^\prime = \frac{1}{4\pi} \cdot (36x - 3x^2) = \frac{36x - 3x^2}{4\pi}[/tex]
[tex]V^\prime = \left(\frac{x^2(18-x)}{4\pi}\right)^\prime = \frac{1}{4\pi} \cdot (18x^2 - x^3)^\prime = \frac{1}{4\pi} \cdot (36x - 3x^2) = \frac{36x - 3x^2}{4\pi}[/tex]
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Hvilken regel bruker du når du deriverer der? Hvorfor endres ikke nevneren?
-
Vektormannen
- Euler
- Posts: 5889
- Joined: 26/09-2007 19:35
- Location: Trondheim
- Contact:
Den deriverte av en konstant ganget med en funksjon er lik konstanten ganget med den deriverte av funksjonen.
[tex](k \cdot f(x))^\prime = k \cdot f^\prime(x)[/tex]
F.eks. [tex](3x^2)^\prime = 3 \cdot (x^2)^\prime = 3 \cdot 2x = 6x[/tex]
[tex](k \cdot f(x))^\prime = k \cdot f^\prime(x)[/tex]
F.eks. [tex](3x^2)^\prime = 3 \cdot (x^2)^\prime = 3 \cdot 2x = 6x[/tex]
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Se der ja! Takk for raskt svar! 
-
amemah
Hei! Ser at dette forumet er fra 2008, men jeg håper noen kan hjelpe meg nå.
Jeg holder på med akkurat den samme oppgaven. Det jeg sliter med å forstå er hvorfor pi er under brøkstreken i V=(x^2/4*pi)
Kan noen hjelpe meg? Takk
Jeg holder på med akkurat den samme oppgaven. Det jeg sliter med å forstå er hvorfor pi er under brøkstreken i V=(x^2/4*pi)
Kan noen hjelpe meg? Takk
Volumet av en sylinder er $V = \pi r^2h$ der $r$ er radius i grunnflata og $h$ er høyda.
Her har vi at $h = y$ som gitt i oppgaveteksten, så $V = \pi r^2y$.
Omkretsen til grunnflata (som er en sirkel) er $x$. Så vi har $x = 2\pi r$ eller $r = \frac{x}{2\pi}$. Så $V = \pi\color{red}{\left( \frac{x}{2\pi} \right)^2}y = \pi\color{red}{\left( \frac{x^2}{4\pi^2} \right)}y$.
Her har vi at $h = y$ som gitt i oppgaveteksten, så $V = \pi r^2y$.
Omkretsen til grunnflata (som er en sirkel) er $x$. Så vi har $x = 2\pi r$ eller $r = \frac{x}{2\pi}$. Så $V = \pi\color{red}{\left( \frac{x}{2\pi} \right)^2}y = \pi\color{red}{\left( \frac{x^2}{4\pi^2} \right)}y$.
Tusen takk! Jeg tenkte det var en formel et sted jeg hadde glemt å fikle med, men jeg klarte ikke å se hvor den var. Igjen, takkAleks855 wrote:Volumet av en sylinder er $V = \pi r^2h$ der $r$ er radius i grunnflata og $h$ er høyda.
Her har vi at $h = y$ som gitt i oppgaveteksten, så $V = \pi r^2y$.
Omkretsen til grunnflata (som er en sirkel) er $x$. Så vi har $x = 2\pi r$ eller $r = \frac{x}{2\pi}$. Så $V = \pi\color{red}{\left( \frac{x}{2\pi} \right)^2}y = \pi\color{red}{\left( \frac{x^2}{4\pi^2} \right)}y$.