Derivasjon av e

[MatteNoob]

[tex]f(x) = \frac{e^{2x}}{1-e^{2x}}[/tex]

Kvotientregelen sier at

[tex]f\prime(x) = \frac{a\prime \cdot b - a \cdot b\prime}{b^2}[/tex]

Jeg vet også at [tex](e^{kx})\prime = k\cdot e^{kx}[/tex]

[tex]f(x) = \frac{e^u}{1-e^u}[/tex] der [tex]u = 2x[/tex] og [tex]u\prime = 2[/tex]

Så prøver jeg å derivere uttrykket.

[tex]f\prime(x) = \frac{(e^u)\prime \cdot (1-e^u) - e^u \cdot (1-e^u)\prime }{(1-e^u)^2}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{2e^u \cdot (1 - e^u) - e^u \cdot -2e^u}{(1 - e^u)^2}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{2e^u - 2e^{2u} + 2e^{2u}}{(1-e^u)^2}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{2e^u}{(1-e^u)^2} = \frac{2e^{2x}}{(1-e^{2x})^2}[/tex]

Er dette riktig?

[espen180]

Joda, blir riktig det.

[=)]

kanskje det blir lettere hvis du ser at

[tex]f(x)=\frac{e^{2x}}{1-e^{2x}} = \frac{1}{e^{-2x}-1}[/tex] ?

[MatteNoob]

Nytt problem

Oppgaven lyder som følger:
I en bakteriekultur øker antall bakterier etter modellen nedenfor, der t er antall timer.
[tex]B(t) = \frac{6000}{e^{-0,4x} + 2}[/tex]

Finn ved regning når antallet bakterier øker med ca 60 per time.

Jeg finner den deriverte

[tex]B\prime(t) = \frac {2400e^{-0,4x}}{(e^{-0,4x} + 2)^2}[/tex]

For å vite svaret på forhånd gjør jeg følgende:
1. Tegner grafen til B(x) på lommeregneren
2. Bruker funksjonen for å grafe den deriverte
3. Bruker X-Calc og setter Y=60 for den deriverte.

Jeg får svaret [tex]x \approx 5,5[/tex]

Når jeg for hånd forsøker å regne ut

[tex]B\prime(t) = 60[/tex] får jeg ikke det samme svaret.

Kan noen forsøke å se om de kommer frem til det samme? Jeg har sett på den deriverte, den ser riktig ut.

[Emilga]

For å vite svaret på forhånd gjør jeg følgende:
1. Tegner grafen til B'(x) på lommeregneren

Så lager du en konstant funksjon f(x) = 60. Der f og B' krysser vil stigningstallet være 60.

[MatteNoob]

Ja, det går også ann, men like greit å bruke X-Calc og sette Y=60

Problemet mitt er ikke at jeg ikke vet svaret. Problemet er at jeg ikke får riktig svar når jeg skal regne ut med den deriverte.

Jeg setter [tex]B\prime(t) = 60[/tex] og forsøker, men svaret jeg kommer frem til er ikke riktig.

Jeg har også puttet [tex]t = 5,485[/tex] i den deriverte for å se om svaret er 60, og det var det. Ergo er uttrykket for den deriverte riktig, men jeg regner feil.

Vil noen ta den i en fei, slik at jeg kan analysere utregningen?

[Emilga]

Du får ikke tilfeldigvis -8,95? Likningen har nemlig to løsninger, men -8,95 er ikke logisk riktig.

[MatteNoob]

Nei, jeg tror jeg roter til noe fryktelig pga [tex]e^x[/tex].

La meg vise hvordan jeg har gjort det.

[tex]\frac{2400e^{-0.4x}}{(e^{-0.4x} + 2)^2} = 60[/tex]

[tex]2400e^{-0.4x} = 60\cdot(e^{-0.4x} + 2)^2[/tex]

[tex]2400e^{-0.4x} = 60\cdot(e^{-0.8x} + 4e^{-0.4x} + 4)[/tex]

Jeg lurer på om det er i det siste trinnet her jeg gjør feil. Er det, det?

[tex]2400e^{-0.4x} = 60e^{-0.8x} + 240e^{-0.4x} + 240[/tex]

[tex]2400e^{-0.4x} - 240e^{-0.4x} - 60e^{-0.8x} = 240[/tex]

[tex]2160e^{-0.4x} - 60e^{-0.8x} = 240[/tex]

[tex]36e^{-0.4x} - e^{-0.8x} = \frac{240}{60}[/tex]

[tex]e^{-0.4x} - e^{-0.8x} = \frac {4}{36}[/tex]

[tex]-0.4x - (- 0.8x) = ln(\frac{4}{36})[/tex] *

[tex]0,4x = ln(\frac{4}{36})[/tex]

[tex]x = \frac{-2,197}{0.4}[/tex]

[tex]x = -5,493[/tex]

* X blir da vel negativ her?

[Emilga]

Jeg får det samme som deg i det siste trinnet, men det kan jo hende vi begge har feil.

[Emilga]

[tex]2160e^{-0.4x} - 60e^{-0.8x} = 240[/tex]

Vi setter [tex]u = e^{-0,4x}[/tex]

[tex]2160u - 60u^2 - 240 = 0[/tex]

Vi bruker abc-formelen og får:

[tex]u = 0,111 \vee u = 35,889[/tex] (Hvordan kan jeg lage "eller" tegnet i tex?)

[tex]e^{-0,4x} = 0,111 \vee e^{-0,4x} = 35,889[/tex]

Litt hokus-pokus med logaritmer, og du sitter igjen med svaret.

[MatteNoob]

Så lett kan det altså gjøres, haha. Flinke mannen!!!

Setter du da:

[tex]e^{-0.4x} = 0,111[/tex]

[tex]-0.4x = -2.198[/tex]

[tex]x \approx 5.496[/tex]

og

[tex]e^{-0.8x} = 35.889[/tex]

[tex]x \approx -8.951[/tex]

Deretter forklarer du at det andre svaret er ulogisk, fordi negative timer ikke eksisterer?

[Emilga]

Ja. Ikke i dette universet i hvertfall.

[zell]

[tex]u = 0,111 V u = 35,889[/tex] (Hvordan kan jeg lage "eller" tegnet i tex?)

[ tex] \vee [/ tex]

[espen180]

Dette er sikkert postet tidligere i tråden, men jeg har ikke lest hele.

Det generelle prinsippet i derivasjon med eulers tall er [tex](e^{f(x)})^\prime=f^\prime (x) \cdot e^{f(x)}[/tex]

Eksempler:
[tex](e^{x^2})^\prime=2xe^{x^2}[/tex]
[tex](e^x)^\prime=1 \cdot e^x=e^x[/tex]
[tex](e^{sin(x^2)})^\prime=2x\text{Cos}(x^2)e^{sin(x^2)}[/tex]

[Vektormannen]

Det er da strengt tatt bare snakk om kjerneregelen, espen180.