Produkt- og kjerneregel - Riktig tenkt?

[MatteNoob]

Heisann

Har trent endel på derivasjon med produkt og kjerneregel nå, og lurer på om dette er riktig tenkt.

Jeg skal derivere funksjonen

[tex]g(x) = x \cdot \sqrt {1 + x^2}[/tex]

Dette krever produktregelen, såvel som kjerneregelen for derivasjon. Jeg starter med kjerneregelen og setter [tex]u=1+x^2[/tex]

[tex](\sqrt u)\prime = \frac{1}{2\sqrt u}[/tex]

[tex]u\prime = 2x[/tex]

[tex]\frac{1}{2\sqrt {1+x^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt {1+x^2}}[/tex]

Deretter kommer produktregelen til anvendelse.

[tex]g\prime(x) = u\prime \cdot v + u \cdot \prime v[/tex]

[tex]u\prime = 1[/tex]

[tex]1 \cdot \sqrt{1+x^2} + x \cdot \frac{2x}{2\sqrt {1+x^2}} = \sqrt {1+x^2} + \frac{2x^2}{2\sqrt{1+x^2}}[/tex]

Jeg må nå sette fellesnevner

[tex]\frac{2\sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt {1+x^2} + 2x^2}{2\sqrt {1+x^2}}[/tex]

Faktoriserer ut 2-tallet.

[tex]\frac{\cancel 2\sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt {1+x^2} + \cancel 2x^2}{\cancel 2\sqrt {1+x^2}}[/tex]

og står igjen med

[tex]\frac{\sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt {1+x^2} + x^2}{\sqrt {1+x^2}}[/tex]

Som blir

[tex]\frac{(1+x^2)^{\frac 12} \cdot (1+x^2)^{\frac 12} + x^2}{\sqrt {1+x^2}}[/tex]

[tex]\frac{(1+x^2)^{\frac 12 + \frac 12} + x^2}{\sqrt {1+x^2}}[/tex]

[tex]\frac{1+ x^2 + x^2}{\sqrt {1+x^2}}[/tex]

Og står igjen med svaret

[tex]\frac{1+ 2x^2}{\sqrt {1+x^2}}[/tex]

Jeg har gitt et veldig grundig ressonement her, og håper på konstruktiv kritikk og tilbakemeldinger.

[groupie]

Her er det ikke mer å si enn: Godt utført arbeid! Meget bra! Du tenker klart og ser ut til å ha god kontroll på hva du gjør.

Du kan kanskje passe litt på notasjonen, du har f.eks. definert 'u' for 2 forskjellige begrep, noe som kan gjøre ting forvirrende uten forklarende tekst. Ikke vær gniten når det kommer til å bruke forskjellige bokstaver

[Dinithion]

Hmm.. I mine øyne ser det galt ut, for jeg har lært at man skal gange med kjernen til slutt. Dermed får jeg dette regnestykket:

[tex]g(x) = x\sqrt{1+x^2} = x\sqrt{u}[/tex]

[tex]g^{\tiny\prime} (x) = (1\sqrt{u} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{u}}) \cdot u^{\tiny\prime}[/tex]

[tex]g^{\tiny\prime} (x) = 2x \cdot (\sqrt{u} + \frac{x}{2\sqrt{u}}) = 2x\sqrt{1+x^2} + \frac{2x^2}{2\sqrt{1+x^2}}[/tex]

Finner fellesnevner og ganger ut:

[tex]\frac{2x\sqrt{1+x^2} \cdot \cancel{2}\sqrt{1+x^2} + \cancel{2}x^2}{\cancel{2}\sqrt{1+x^2} } = \frac{2x(1+x^2) + x^2}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]

[tex]\frac{2x+2x^3+x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{x(2+2x^2+x)}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]

Jeg skal ikke være skråsikker, men det var i den rekkefølgen jeg lærte på skolen.

[groupie]

Svaret er riktig, du kan f.eks. sjekke på kalkis selv.

[Dinithion]

Groupie: Ok, kunne du ha analysert min løsningmetode?

[groupie]

[tex]g^{\tiny\prime} (x) = (1\sqrt{u} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{u}}) \cdot u^{\tiny\prime}[/tex]

Hva er det som skjer her? Ser at du har korrekt anvendt produktregelen, men hvorfor havner den deriverte av u på utsiden?

I utgangspunktet av denne oppgaven må du se at produktet av x og [tex]\sqrt{1+x^2}[/tex] skaper et lite problem ettersom den siste faktoren består av 2 funksjoner. Derfor må vi bruke kjerneregelen for å finne derivatet av denne, nettopp slik Mathnoob gjør. Deretter er det plankekjøring for å finne det totale derivat ved hjelp av produktregelen.

[Dinithion]

Jeg gjør det slik fordi det var slik jeg lærte

Man deriverer først funksjonen og ganger etterpå med den deriverte av kjernen. Ettersom den deriverte av hovedfunksjonen består av to faktorer, så ganger jeg begge med den deriverte av kjernen. Det er tydeligvis feil, så jeg skal analysere litt bedre hvordan han har gjort det for å se hva vi gjør forskjellig.

Edit:

Ok, da er jeg med. Takker så mycket. Bra jeg fikk visket bort den vranglæren før eksamen

[MatteNoob]

Dette skal visst ingen ende ta.

Deriver funksjonen:

[tex]f(x) = \frac{x-1}{\sqrt x}[/tex] Kvotientregelen.

[tex]f\prime(x) = \frac{(x-1)\prime \cdot \sqrt x - (x-1) \cdot (\sqrt x)\prime}{(\sqrt x)^2} = \frac{\sqrt x - (x-1) \cdot \frac 12 x^{- \frac 12}}{x} = \frac{\sqrt x - (x - 1)}{x \cdot \frac 21 x^{\frac 12}} = \frac {\sqrt x - x + 1}{2x\sqrt x}[/tex]

Men dette er feil, og jeg kan ikke se hva jeg gjør galt.

[mrcreosote]

Når du ganger oppe og nede med 2sqrt(x) ganger du bare med det ene leddet i telleren.

En annen måte å løse oppgava på er å dele opp funksjonen før du deriverer, da slipper du utenom kvotientregelen.

[MatteNoob]

Så da blir det:

[tex]f\prime(x) = \frac{(x-1)\prime \cdot \sqrt x - (x-1) \cdot (\sqrt x)\prime}{(\sqrt x)^2} = \frac{\sqrt x - (x-1) \cdot \frac 12 x^{- \frac 12}}{x} = \frac{\sqrt x \cdot \frac 12 x^{-\frac 12} - (x - 1)}{x \cdot \frac 21 x^{\frac 12}} = [/tex]

[tex]\frac {\frac 12 x^{\frac 12 - \frac 12} - (x - 1)}{2x\sqrt x} = \frac {\frac 12 x^0 - (x - 1)}{2x\sqrt x} = \frac {\frac 12 - x + 1}{2x\sqrt x}= \frac {\frac 12 x^0 - (x - 1)}{2x\sqrt x} = \frac {\frac 32 - x}{2x\sqrt x}[/tex]

Dette så også galt ut...

[espen180]

[tex]f(x)=(x-1)(\sqrt{x})^{-1}[/tex]

Her må vi som kjent benytte kjerneregel, men jeg fortrekker produktregelen over kvotientregelen.

[tex]u=\sqrt{x}[/tex]

[tex]\left( u^{-1} \right) ^\prime=-\sqrt{x}^{-2}\cdot (2\sqrt{x})^{-1}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}=\frac{x-2\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}[/tex]

[tex]f^\prime (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}+x \left( \frac{x-2\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}} \right)=\frac{2x+x^2-2x\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}}[/tex]

Hmm, ble dette riktig da?

[mrcreosote]

Så da blir det:

[tex]f\prime(x) = \frac{(x-1)\prime \cdot \sqrt x - (x-1) \cdot (\sqrt x)\prime}{(\sqrt x)^2} = \frac{\sqrt x - (x-1) \cdot \frac 12 x^{- \frac 12}}{x} = \frac{\sqrt x \cdot \frac 12 x^{-\frac 12} - (x - 1)}{x \cdot \frac 21 x^{\frac 12}} = [/tex]

[tex]\frac {\frac 12 x^{\frac 12 - \frac 12} - (x - 1)}{2x\sqrt x} = \frac {\frac 12 x^0 - (x - 1)}{2x\sqrt x} = \frac {\frac 12 - x + 1}{2x\sqrt x}= \frac {\frac 12 x^0 - (x - 1)}{2x\sqrt x} = \frac {\frac 32 - x}{2x\sqrt x}[/tex]

Dette så også galt ut...

Du deriverer riktig, men tøyser fortsatt når du skal trekke sammen. Gang oppe og nede med 2sqrt(x) i det andre uttrykket du har for f'(x); det ser ut som det er du har tenkt, og det er helt riktig tenkt også.

Men som sagt er det letteste bare å dele opp uttrykket og derivere ledd for ledd.

[MatteNoob]

Jeg har brukt dagen i dag til 1MX pensum, og spesielt uttrykk med brøkpotenser og faktorisering. Tok 1MY for et par år siden, og det holder ikke. Nå som jeg har lest meg opp litt, skal jeg prøve igjen.

Fasiten sier at riktig svar er:
[tex]f\prime(x) = \frac {x+1}{2x\sqrt x}[/tex]

Ved kvotient- og kjerneregel:
[tex]f(x) = \frac{x-1}{\sqrt x}[/tex]

[tex]u=\sqrt x[/tex] og [tex]u\prime = \frac 12 x^{-\frac 12}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{(x-1)\prime \cdot u - (x-1)\cdot u\prime}{(u)^2}[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{ u \cdot u\prime - (x-1) \cdot u\prime}{(u)^2 \cdot u\prime}[/tex]

[tex]\frac 12 x^{- \frac 12} = u\prime[/tex] og [tex]\sqrt x = u[/tex]

[tex]f\prime(x) = \frac{\sqrt x \cdot \frac 12 x^{- \frac 12} - (x-1) \cdot \frac 12 x^{- \frac 12}}{x \cdot \frac 12 x^{- \frac 12}} = \Large \frac{\frac 12 x^{\frac 12 - \frac 12} - (\frac 12 x^{\frac 22 - \frac 12} - \frac 12 x^{-\frac 12})}{x \cdot \frac 12 x^{- \frac 12}}[/tex]

[tex]\Large \frac{\frac 12 x^0 - \frac 12 x^{\frac12} + \frac 12 x^{-\frac 12}}{x \cdot \frac 12 x^{- \frac 12}} = \frac{ \frac 12 - \frac 12 \sqrt x + \frac 12 \sqrt x}{x\cdot 2\sqrt x} = \frac {\frac 12}{2x\sqrt x}[/tex]

Dette er slett ikke bra.
Jeg hører hva dere sier om å dele opp, og gange i ledd, vær snille å vise meg hvordan da

[MatteNoob]

Akkurat ferdig å snakke med ei venninne av meg. Hun kom med denne flotte løsningen.

[tex]f(x) = \Large \frac{x-1}{\sqrt x} \Rightarrow \frac {x}{\sqrt x} - \frac{1}{\sqrt x} \Rightarrow \sqrt x - \frac {1}{\sqrt x} \Rightarrow x^{\frac 12} - x^{-\frac 12}[/tex]

Deretter deriverte hun den.