Jeg har pensumboken for 2MX, R1 og oppgavesamling. Likevel finner jeg ikke noe fullgodt svar på dette.
Definisjonen på derivasjon av [tex]a^x[/tex] er [tex](a^x)\prime = a^x \cdot ln a[/tex]
I boken bruker de følgende eksempel:
[tex]g(t) = 500 \cdot 1.17^x[/tex]
[tex]g\prime(t) = 500 \cdot 1.17^x \cdot ln (1.17) = 78.5 \cdot 1.17^x[/tex]
Jeg vet også at jeg kunne gjort [tex]a^x[/tex] til en funksjon av [tex]e^x[/tex], men det er ikke det jeg vil gjøre.
Her er funksjonen jeg sliter med å forstå:
[tex]f(x) = 2^{x^3 - 3x}[/tex]
Jeg ser at denne funksjonen ikke har noe startverdi, slik som g(t), og deriverte den etter definisjonen for den deriverte av [tex]a^x[/tex]
[tex]f\prime(x) = 2^{x^3 - 3x} \cdot ln 2[/tex]
Jeg har med andre ord ikke derivert eksponenten. I fasit er svaret
[tex]f\prime = 2^{x^3 - 3x} \cdot (3x^2 - 3)\cdot ln 2[/tex]
Jeg tenkte dette måtte være feil, fordi det ikke er i tråd med definisjonen, og deriverte derfor f(x) som en funksjon av e. Tegnet så begge grafene i Geogebra, og de var like, så da har fasit rett...
Kan noen forklare meg hvorfor?
Derivasjon av a^x
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Kjerneregel.
[tex]u = x^3-3x \ , \ u^, = 3x^2-3[/tex]
[tex](a^u)^, \ \cdot \ u^, = a^u\ln{u} \ \cdot \ u^,[/tex]
[tex]f^,(x) = 2^{(x^3-3x)}\ln{2}(3x^2-3)[/tex]
[tex]u = x^3-3x \ , \ u^, = 3x^2-3[/tex]
[tex](a^u)^, \ \cdot \ u^, = a^u\ln{u} \ \cdot \ u^,[/tex]
[tex]f^,(x) = 2^{(x^3-3x)}\ln{2}(3x^2-3)[/tex]
Sist redigert av zell den 22/04-2008 20:55, redigert 1 gang totalt.
Så gitt denne funksjonen:
[tex]f(x) = 1000 \cdot 2^{x^3 - 3x}[/tex]
Ville riktig svar for den deriverte blitt:
[tex]f(x) = 1000 \cdot 2^u[/tex]
Der [tex]u = x^3 - 3x og u\prime = 3x^2 - 3[/tex]
[tex]f\prime(x) = (1000)\prime 2^u + (1000) \cdot (2^u)\prime = [/tex]
[tex]1000 \cdot ln 2 \cdot (3x^2 - 3) \cdot 2^u = [/tex]
[tex]693(3x^2 - 3) \cdot 2^{x^3 - 3x}[/tex]
[tex]f(x) = 1000 \cdot 2^{x^3 - 3x}[/tex]
Ville riktig svar for den deriverte blitt:
[tex]f(x) = 1000 \cdot 2^u[/tex]
Der [tex]u = x^3 - 3x og u\prime = 3x^2 - 3[/tex]
[tex]f\prime(x) = (1000)\prime 2^u + (1000) \cdot (2^u)\prime = [/tex]
[tex]1000 \cdot ln 2 \cdot (3x^2 - 3) \cdot 2^u = [/tex]
[tex]693(3x^2 - 3) \cdot 2^{x^3 - 3x}[/tex]
@ Zell
Jeg skrev det bare for å vise at jeg brukte produktregelen.
Jeg skrev det bare for å vise at jeg brukte produktregelen.
Hva mener du med å ta den naturlige logaritmen til det den uderiverte eksponenten? Er det ikke grunntallet du skal bruke logaritmen på?zell skrev:Kjerneregel.
[tex]u = x^3-3x \ , \ u^, = 3x^2-3[/tex]
[tex](a^u)^, \ \cdot \ u^, = a^u\ln{u} \ \cdot \ u^,[/tex]
[tex]f^,(x) = a^{(x^3-3x)}\ln{(x^3-3x)}(3x^2-3)[/tex]