Hei
1)d
Gitt funksjonen f(x) = (1/5)x - cos x
x E <0,2 [symbol:pi] >
1) Finn f'(x)
2) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f ved regning.
Har fått til f'(x), men lurer på hva jeg skal gjøre på 2)'eren? HUSK AT DET IKKE SKAL GJØRES VED KALKULATOR!
Btw: er det mulig å oppdrive løsningsforslag for vår 2007 eksamen 3mx?
På forhånd takk!
Reidar
Tentamensøving 3mx! Eksamensoppgaver
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Jeg garanterer ikke at følgende er riktig. Det er kun det jeg ville forsøkt med min begrensede kunnskap.
Da må du sette f'(x)=0 først for å finne de aktuelle punktene. Deretter kan du jo sette [tex]f^\prime(x\pm 0.0001)[/tex] for å se om det er snakk om toppunkt eller bunnpunkt.
Husk at der er et toppunkt om den deriverte går fra pluss til minus, og et bunnpunkt om den går fra minus til pluss.
Dermed kan du jo begynne med å løse [tex]\frac{1}{5}+sin(x)=0,\,x\in<0.2,\pi>[/tex] for x. Du får dermed [tex]sin(x)=-0.2,\,x\in<0.2,\pi>[/tex]
Mulig jeg benytter helt feil metode her. Det finnes kanskje andre metoder også.
Da må du sette f'(x)=0 først for å finne de aktuelle punktene. Deretter kan du jo sette [tex]f^\prime(x\pm 0.0001)[/tex] for å se om det er snakk om toppunkt eller bunnpunkt.
Husk at der er et toppunkt om den deriverte går fra pluss til minus, og et bunnpunkt om den går fra minus til pluss.
Dermed kan du jo begynne med å løse [tex]\frac{1}{5}+sin(x)=0,\,x\in<0.2,\pi>[/tex] for x. Du får dermed [tex]sin(x)=-0.2,\,x\in<0.2,\pi>[/tex]
Mulig jeg benytter helt feil metode her. Det finnes kanskje andre metoder også.
Dette løses vanligvis med fortegnsskjema. Når den deriverte går over fra å være negativ til å bli positiv, har du et bunnpunkt. Når den deriverte går over fra å være positiv til å bli negativ, så har du et toppunkt.
En annen fin test er å finne den andrederiverte, og så sette så inn x-verdien. Hvis du får en positiv verdi har du et bunnpunkt, en negative et maxpunkt.
Vaticinatio quae numeris Romanis utitur vetustior est milibus annis quam ulla ratio sera quae scriptis Arabicis utitur!
Ja, det var det jeg trodde ang. fortegnsskjemaet. Men skal jeg skrive om funksjonen på et eller annet vis, slik at jeg får bare faktorer? Rettere sagt: Hvordan skal fortegnsskjemaet se ut? ..og hvordan finner jeg nullpunktene!halten skrev:Dette løses vanligvis med fortegnsskjema. Når den deriverte går over fra å være negativ til å bli positiv, har du et bunnpunkt. Når den deriverte går over fra å være positiv til å bli negativ, så har du et toppunkt.
I dette tilfellet trenger du ikke å skrive om funksjonen. Hvis du derimot har et litt mer komplekst uttrykk som du klarer å skrive om til en brøk på den ene siden og null på den andre siden, så kan det lønne seg. Da kan du nemlig ta for deg hver enkelt faktor alene. Eksempel på det:
[tex]\frac{3x-1}{12x^2-6}<0,1[/tex] Denne er definert for x E [1,8]
[tex]\frac{3x-1}{12x^2-6}-0,1<0[/tex]
[tex]\frac{3x-1}{12x^2-6}-\frac{0,1(12x^2-6)}{12x^2-6}<0[/tex]
[tex]\frac{3x-1-1,2x^2+0,6}{12x^2-6}<0[/tex]
[tex]\frac{-1,2x^2+3x-0,4}{12x^2-6}<0[/tex]
Bruker formelen [tex]ax^2+bx+c= a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], der [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] er løsninger av andregradslikningen.
[tex]\frac{-1,2(x-0,14)(x-2,36)}{12(x-\frac{1}{2}\sqrt{2})(x+\frac{1}{2}\sqrt{2})}<0[/tex]
[tex]\frac{-0,1(x-0,14)(x-2,36)}{(x-\frac{1}{2}\sqrt{2})(x+\frac{1}{2}\sqrt{2})}<0[/tex]
Fortegnsskjemaet:
http://img233.imageshack.us/my.php?image=tenmn7.jpg
Som du ser er funksjonen positiv (altså større enn null, som ulikheten ble skrevet om til) i området [1 , 2.36)
Nå ble ikke dette et eksempel med derivasjon da, men det illustrerer fortegnsskjema.
Oppgaven din:
[tex]\frac{df}{dx}=\frac{1}{5}+sin x[/tex]
For å finne topp- og bunnpunkter setter vi den deriverte lik null, og løser for x.
[tex]sin x =-\frac{1}{5}[/tex]
[tex]x=arcsin (-\frac{1}{5})+2k\pi[/tex]
[tex]x=6,0818+2k\pi[/tex] V [tex]x=3,3430+2k\pi[/tex]
Siden x E [0 , 2[tex]\pi[/tex]], så blir de eneste svarene 3,3439 og 6,0818 rad.
0...........................3,3430...........................6,0818 2[tex]\pi[/tex]
+++++++++++++++----------------------------+++++
Dette kommer du frem til ved å sette inn verdier for x i uttrykket for den deriverte. Husk forreseten også å sjekke verdiene for f(0) og f(2[tex]\pi[/tex]). Hvis disse har høyere/lavere verdi enn de punktene du har funnet, er det de som er topp-/bunnpunkt. Egentlig er det ikke noe å tjene på å sette opp fortegnsskjema i denne oppgaven, bortsett fra at det er oversiktlig. Du kan jo like gjerne bare sette inn verdier og merke deg om de er positive eller negative.
Sett først inn en verdi mellom 0 og 3,3430. Denne er positiv. Sett så inn en verdi mellom 3,3430 og 6,0818. Denne er negativ. Sett så inn en verdi mellom 6,0818. Denne er positiv. Da vet du at: Grafen stiger fra 0 til 3,3430, synker fra 3,3430 og 6,0818 og stiger igjen fra 6,0818 til 6,28. Nå setter du inn verdier i den opprinnelige funksjonen, og finner ut at 3,3430 ganske riktig er et toppunkt, siden f(3,3430)>f(2[tex]\pi[/tex])>f(0). Du finner også ut at 6,0818 IKKE er et bunnpunkt, siden f(0)<f(6,0818)<f(2[tex]\pi[/tex])
[tex]\frac{3x-1}{12x^2-6}<0,1[/tex] Denne er definert for x E [1,8]
[tex]\frac{3x-1}{12x^2-6}-0,1<0[/tex]
[tex]\frac{3x-1}{12x^2-6}-\frac{0,1(12x^2-6)}{12x^2-6}<0[/tex]
[tex]\frac{3x-1-1,2x^2+0,6}{12x^2-6}<0[/tex]
[tex]\frac{-1,2x^2+3x-0,4}{12x^2-6}<0[/tex]
Bruker formelen [tex]ax^2+bx+c= a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], der [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] er løsninger av andregradslikningen.
[tex]\frac{-1,2(x-0,14)(x-2,36)}{12(x-\frac{1}{2}\sqrt{2})(x+\frac{1}{2}\sqrt{2})}<0[/tex]
[tex]\frac{-0,1(x-0,14)(x-2,36)}{(x-\frac{1}{2}\sqrt{2})(x+\frac{1}{2}\sqrt{2})}<0[/tex]
Fortegnsskjemaet:
http://img233.imageshack.us/my.php?image=tenmn7.jpg
Som du ser er funksjonen positiv (altså større enn null, som ulikheten ble skrevet om til) i området [1 , 2.36)
Nå ble ikke dette et eksempel med derivasjon da, men det illustrerer fortegnsskjema.
Oppgaven din:
[tex]\frac{df}{dx}=\frac{1}{5}+sin x[/tex]
For å finne topp- og bunnpunkter setter vi den deriverte lik null, og løser for x.
[tex]sin x =-\frac{1}{5}[/tex]
[tex]x=arcsin (-\frac{1}{5})+2k\pi[/tex]
[tex]x=6,0818+2k\pi[/tex] V [tex]x=3,3430+2k\pi[/tex]
Siden x E [0 , 2[tex]\pi[/tex]], så blir de eneste svarene 3,3439 og 6,0818 rad.
0...........................3,3430...........................6,0818 2[tex]\pi[/tex]
+++++++++++++++----------------------------+++++
Dette kommer du frem til ved å sette inn verdier for x i uttrykket for den deriverte. Husk forreseten også å sjekke verdiene for f(0) og f(2[tex]\pi[/tex]). Hvis disse har høyere/lavere verdi enn de punktene du har funnet, er det de som er topp-/bunnpunkt. Egentlig er det ikke noe å tjene på å sette opp fortegnsskjema i denne oppgaven, bortsett fra at det er oversiktlig. Du kan jo like gjerne bare sette inn verdier og merke deg om de er positive eller negative.
Sett først inn en verdi mellom 0 og 3,3430. Denne er positiv. Sett så inn en verdi mellom 3,3430 og 6,0818. Denne er negativ. Sett så inn en verdi mellom 6,0818. Denne er positiv. Da vet du at: Grafen stiger fra 0 til 3,3430, synker fra 3,3430 og 6,0818 og stiger igjen fra 6,0818 til 6,28. Nå setter du inn verdier i den opprinnelige funksjonen, og finner ut at 3,3430 ganske riktig er et toppunkt, siden f(3,3430)>f(2[tex]\pi[/tex])>f(0). Du finner også ut at 6,0818 IKKE er et bunnpunkt, siden f(0)<f(6,0818)<f(2[tex]\pi[/tex])