Nåverdi og avbetaling, 3MX

[Proman]

Hei, sitter å øver til tentamen i 3MX og har et problem med to deloppgaver.

Kari kjøper et hus. Hun låner 1 000 000 kroner. Vi antar at lånerenten er 4,0 % per år i hele låneperioden. Banken foreslår at lånet skal betales tilbake i 20 like store årlige beløp, første gang ett år etter låneopptaket.

b) Finn ved regning hvor store de årlige innbetalingene vil bli etter denne planen.
Kari ønsker ikke å betale mer enn 60 000 kroner i året.
c) Finn ved regning hvor lang nedbetalingstiden da vil bli.

Vil det på b) bli så enkelt som:

1000000 * 1,04[sup]20[/sup] = 2191123,14

deretter dele svaret på 20 for å finne det årlige beløpet å betale?

På c) har jeg ikke peiling på hvordan jeg skal gå fram.. Hjelp hadde vært veldig fint, fant ingen lignende oppgaver i matteboka.

[fish]

b) Hvis det årlige beløpet betegnes med K, kan vi bruke nåverdiprinsippet:

[tex]1 000 000=\frac{K}{1.04}+\frac{K}{1.04^2}+\ldots+\frac{K}{1.04^{20}}=K\sum_{n=1}^{20}\left(\frac{1}{1.04}\right)^n[/tex]

Benytt formel for sum av geometrisk rekke for å komme videre.

[Dinithion]

Det blir ikke så enkelt nei. For her må man ta med renters renter i kalkulasjonen. Utgangspunktet for sparing og avbetaling er en geometrisk rekke. 1.04 i dette tilfellet (Jeg kommer til å bruke dette utover, men dette er jo selvfølgelig avhenging av renten, 1+rentesats/100) er vekstfaktoren. For et lån så må du betale 4% rente av det første beløpet 20 ganger, mens det siste beløpet bare en gang. (Man snur det ofte på hodet og ser på det som sparing, det gjør det litt lettere å se). Så det blir (Desverre) ikke så enkelt.

Så hvis vi tar for oss sparing først, la oss si at vi setter inn 10.000 på en konto hvert år i 5 år, da har man rett etter man satt inn siste beløpet på konto dette rengstykket (hvis vi nå snur det litt opp ned, og begynner med det siste beløpet vi satt inn så har vi med andre ord:)

10000
+10000*1.04
+10000*1.04^2
+10000*1.04^3
+10000*1.04^4
= 54163

Dette blir også en geometrisk rekke som vi kan skrive slik:

[tex]S_5 = 10000 \cdot \frac{1.04^5-1}{1.04-1} = 54163[/tex]

Ett år ETTER vi satt inn siste beløpet vil derimot være helt anderledes. Da må vi gange alle summene med 1.04, og får istedenfor formelen:

[tex]S_5 = 10000 \cdot 1.04 \cdot \frac{1.04^5-1}{1.04-1} = 56330[/tex]

Når det kommer til lån, så blir det samme greiene, men det blir i motsatt rekkefølge.
Si hun tar opp lån på 100000 som skal betales ned i løpet av 10 år. Nå er det slik med lån at de første innbetalingene vi betaler er nesten bare renter. Det er fordi det avdraget man skal betale om 30 år, har 30år med renter bak seg. Mens de første årene ikke har like mye renter. Da får vi dette regnestykket:

(Her er x det årlige faste beløpet og består av både avdrag og renter):
avdrag1 * 1.04 = x
avdrag2 * 1.04^2 = x
avdragN * 1.04^n = x

Hvis vi summerer alle avdragene så får vi lånebeløpet, mens hvis vi summerer alle xene så får vi det vi betaler til banken, både i form av avdrag og i form av renter. Hvis vi deler på 1.04 på begge sider, får vi

avdrag1 = x/1.04
avdrag2 = x/1.04^2
avdragN = x/1.04^n

Nå begynner det å nærme seg en geometrisk følge/rekke. For vi ser nå at summen av avdragene skal være 100000, og hvert avdrag kan nå skrives om slik:

[tex]\frac{x}{1.04} + \frac{x}{1.04^2} + ... + \frac{x}{1.04^{10}} = 100000[/tex]

Man tar her altså x som er det vi betaler banken og deler på vekstfaktoren for den aktuelle innbetalingen. Da sitter vi igjen med avdrag.
Vi setter X utenfor parantes og får:

[tex]x(\frac{1}{1.04} + \frac{1}{1.04^2} + ... + \frac{1}{1.04^{10}}) = 100000[/tex]

Her har vi altså en geometrisk rekke hvor [tex]a_1 = x \cdot k\, og\, k = \frac{1}{1.04}[/tex]

a1 = x * k fordi første nedbetaling er om ett år, altså må man betale renter for det første avdraget også.
Siden vi har formelen for geometrisk rekke som er:

[tex]S_n = a_1 \cdot \frac{k^n -1}{k -1}[/tex]

Kan vi nå bruke det vi fant ut fra forklaringen en formel for nedbetaling av lån, hvor vi setter:
x = Fast årlig beløp
n = Nedbetalingstid
r = vekstfaktor (Rente)
Sn = Lånebeløp

[tex]S_n = x \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{(\frac{1}{r})^n-1}{\frac{1}{r}-1}[/tex]

Så, for å komme til poenget etter ett langt og stygt innlegg, så setter du inn de kjente verdiene i formelen og løser likningen. Håper det ble litt mer forståelig

[Proman]

Tusen takk for kjapp respons. Det var til stor hjelp.

[Jippi]

For å ta opp en gammel tråd! (Har brukt søkefunksjonen)

På oppgave b har jeg funnet ut dette:

[tex]x={{1 000 000 * 1,04^{20} * (1,04 - 1)}\over {1,04^{20}-1}}[/tex]
[tex]x=73581,8 kr[/tex]

1) I følge tidligere besvarelse her så er dette IKKE riktig!? I oppgave c) står det også at "Kari ønsker ikke å betale mer enn 60 000 kroner i året."... Jeg mener at dette er med å forsterker min utregning om at svaret "MÅ" være over 60 000 i b) ?

2) Kan noen hjelpe meg med c? Fikk et svar som var 13 år, kan umulig stemme?

[Jippi]

Jeg tror nok at Dinithion har regnet feil på b). Jeg har rettet opp dette.

Er svaret 27 år eller 28 år på oppgave c?

[Dinithion]

Hvis du leser innlegget mitt skikkelig, ser du at jeg ikke har løst oppgaven, men laget en utredning med forklaring og eksempler. Setter du tallene fra oppgaven inn i formelen min, kommer vi fram til det samme svaret du har fått

[Jippi]

Hvis du leser innlegget mitt skikkelig, ser du at jeg ikke har løst oppgaven, men laget en utredning med forklaring og eksempler. Setter du tallene fra oppgaven inn i formelen min, kommer vi fram til det samme svaret du har fått

Aha, beklager, jeg som var litt rask i svingene der:)

Kan du regne ut C? Fasitsvaret er ENTEN 27 eller 28

[Dinithion]

En kjapp utregning. Hopper over noen ledd her, samt at jeg skriver 1.04¯¹ istedenfor en over 1.04. Det er så mye mas å skrive brøker i latex.

[tex]1000000 = 60000 * 1.04^{-1} * \frac{(\frac{1}{1.04})^n -1}{1.04^{-1} -1}[/tex]

[tex]0.333 = (\frac{1}{1.04})^n [/tex]

[tex]n = \frac{log 0.33}{log 1.04^{-1}[/tex]

[tex]n = 28[/tex]