Løgndetektorball sannsynlighet.

[MatteNoob]

Hvis en person lyver, er det 88% sjans for at detektoren avslører dette. Hvis en person snakker sant, er det 14% for at detektoren tar feil.

Et vitne i en kriminalsak testes med en polygraftest.

Testen viser at vitnet juger. Hva er sannsynligheten for at vitnet faktisk juger, hvis sannsynligheten for at vitnet snakker sant er:

a) 1 %
b) 50%
c) 99%

Jeg tenkte slik:
1. Personen snakker sant.
14% for at detektoren tar feil.
86% for at detektoren har rett.

2. Personen lyver.
12% for at detektoren tar feil.
88% for at detektoren har rett.

Konsekventlig, blir løgndetektortestens riktighet gitt ved:
[tex]P(B) = 0.86 \cdot 0.88 = \underline {0.7658}[/tex]

Men nå får jeg store problemer med å holde ting avskildt og forstå hva de faktisk er ute etter. Jeg antar at jeg må bruke Bayes' setning, men jeg forstår ikke hvordan jeg skal ressonnere her.

Edit:
Har tenkt litt på oppgaven siden sist, og kommet frem med følgende logikk.

Gitte opplysninger:
1. Testen hevder personen lyver.
2. Det er 1% sannsynlig at personen snakker sant.
3. Hva er sannsynligheten for at han lyver.

Jfr pkt 2 og komplementersetningen, vet vi at når det er 1% sannsynlig at personen snakker sant, så er det også 99% sjans for at han lyver.

Når folk lyver, er det 12% sjans for at løgndetektoren tar feil.

Når folk snakker sant, er det 14% sjans for at polygrafen tar feil.

Total sannsynlighet for at løgndetektoren tar feil er derfor:

A: Personen lyver
B: Feilmargin
C: Total sannsynlighet

[tex]P(C) = P(A) \cdot P(B|A) + P(ikke A) \cdot P(B| ikke A) = \frac{99}{100} \cdot \frac{12}{100} + \frac{1}{100} \cdot \frac{14}{100} = \frac{1188 + 14}{10000} = \Large \underline{\underline{ \frac{1202}{10000}}}[/tex]

Nå vet vi den totale sannsynligheten for at løgndetektoren gir feil svar, og følgelig kan vi bruke Bayes' setning.

D = Personen lyver
E = Detektoren har rett

[tex]P(D|E) = \frac{P(D) \cdot P(E|D)}{P(C)} = \frac{\frac{99}{100} \cdot \frac{88}{100}}{\frac{1202}{10000}} = \frac{\frac{8712}{10000}}{\frac{1202}{10000}}[/tex]

Nei, dette blir feil. Sannsynligheten blir jo større enn 1.

[espen180]

Det letteste her ville nok være å lage et valgtre.

[MatteNoob]

Problemet er at jeg ikke ser sammenhengen, det blir for mange variabler om hva som er hva, til at jeg klarer å tenke klart. Valgtre blir umulig, når jeg ikke klarer å definere hva som påvirker hva, hehe.

[Emilga]

Jeg er ikke noe sterk på sannsynlighet, men halve oppgaven er å sette sannsynlighetene i system.
(Jeg tror du må bruke både Bayes setning, og setningen om total sannsynlighet her.)

L = personen lyver.
I = Detektoren indikerer at personen lyver.

[tex]P(L) = 0,01 \\ P(\overline{L}) = 0,99[/tex]

[tex]P(I|L) = 0,88 \\ P(\overline{I}|L) = 0,12[/tex]

[tex]P(I|L) = 0,86 \\ P(I|\overline{L}) = 0,14[/tex]

Testen viser at vitnet juger. Hva er sannsynligheten for at vitnet faktisk juger, hvis sannsynligheten for at vitnet snakker sant er:

Hvis du holder tunga bent i munnen når du leser denne setningen, vet du at du skal finne sannsynligheten av:

[tex]P(L|I) = \frac{P(L) \cdot P(I|L)}{P(I)}[/tex]

Nå tror jeg du må bruke setningen om total sannsynlighet.

[MatteNoob]

Takker for svar, jeg har sittet og tuklet med den på papir nå. Her er besvarelsen:

[Emilga]

Dette stemmer med fasit?

[MatteNoob]

Ja, utrolig nok! Ser det er flere som har spurt etter samme stykket her tidligere, så jeg publiserte den løsningen slik at andre kan finne den senere