Jeg holder på å forberedre meg til eksamen.
Jeg lurer på når er det man kan bruke bueformel? Er det for en hvilken som helst vektor i planet og rommet?
bueformel
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hvis du har en glatt kurve på formen [tex]\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))[/tex] kan du bruke bueformelen.
Glatt kurve:
1) [tex]\frac{d\vec{r}}{dt}[/tex] er kontinuerlig.
2) [tex]\frac{d\vec{r}}{dt}[/tex] er aldri lik [tex]\vec{0}[/tex]
Glatt kurve:
1) [tex]\frac{d\vec{r}}{dt}[/tex] er kontinuerlig.
2) [tex]\frac{d\vec{r}}{dt}[/tex] er aldri lik [tex]\vec{0}[/tex]
Altså - antar du har en posisjonsvektor som forandrer seg med tiden, for eksempel [tex]\vec{r}(t) = (0,t,t)[/tex] 0<= t <= 1, eller noe.
Da er dr/dt lik den deriverte mhp tiden. Du har kanskje mer kjent med det på denne formen:
x = 0
y = t
z = t
dr/dt er da
dx/dt = 0
dy/dt = y' = 1
dz/dt = z' = 1
Her må hver av disse komponentene være kontinuerlig. Og det er de åpenbart, og de må heller aldri være lik 0 på samme tid.
F.eks hvis vi lar
x = r*cos t
y = r*sin
Der r er positiv reell.
dx/dt = - r*sin t
dy/dt = r*cos t
Er begge komponentene kontinuerlige? Ja - man vet at sinus og cosinus er kontinuerlige funksjoner. Kan -r*sin t og r*cos t være simultant lik 0? Nei, dermed kan vi bruke formelen. Da du går på VGS vil du nok ikke trenge å sjekke dette, men siden du spør får du svar.
Så - la oss si at 0<= t <= 2pi. Vi traverserer altså en sirkel! La oss sjekke om buelengden stemmer overens med det vi er vant til.
[tex]L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2\sin^2t + r^2\cos^2t}dt = \int_{0}^{2\pi}|r|dt[/tex]
Har brukt at sin^2 + cos^2 = 1, og at bruker nå at r>0, slik at |r| = r.
Dermed [tex]L = r\cdot \int_{0}^{2\pi}dt = 2\pi\cdot r[/tex]
Som vi kjenner igjen fra grunnskolen.
Da er dr/dt lik den deriverte mhp tiden. Du har kanskje mer kjent med det på denne formen:
x = 0
y = t
z = t
dr/dt er da
dx/dt = 0
dy/dt = y' = 1
dz/dt = z' = 1
Her må hver av disse komponentene være kontinuerlig. Og det er de åpenbart, og de må heller aldri være lik 0 på samme tid.
F.eks hvis vi lar
x = r*cos t
y = r*sin
Der r er positiv reell.
dx/dt = - r*sin t
dy/dt = r*cos t
Er begge komponentene kontinuerlige? Ja - man vet at sinus og cosinus er kontinuerlige funksjoner. Kan -r*sin t og r*cos t være simultant lik 0? Nei, dermed kan vi bruke formelen. Da du går på VGS vil du nok ikke trenge å sjekke dette, men siden du spør får du svar.
Så - la oss si at 0<= t <= 2pi. Vi traverserer altså en sirkel! La oss sjekke om buelengden stemmer overens med det vi er vant til.
[tex]L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2\sin^2t + r^2\cos^2t}dt = \int_{0}^{2\pi}|r|dt[/tex]
Har brukt at sin^2 + cos^2 = 1, og at bruker nå at r>0, slik at |r| = r.
Dermed [tex]L = r\cdot \int_{0}^{2\pi}dt = 2\pi\cdot r[/tex]
Som vi kjenner igjen fra grunnskolen.