derivasjon

[Thor-André]

[tex] 3e^x (x + 1)^2 \,\, + \,\,e^x (x + 1)^3 \\ e^x (x + 1)^2 (x + 4) \\[/tex]

Skjønner ikke helt hvordan den tredje-potensen forsvinner, og hvorfor 3 tallet ikke blir multipisert inn i den andre parantesen... Generelt hadde vært greit om noen tok forkortinga step by step

[MatteNoob]

[tex]f(x) = (x^2 +5)^3 \\ \, \\ f(x) = (u)^3 \,\,\, der\, u = x^2+5 \,\,\, og \,\,\, u\prime = 2x \\ \, \\ f\prime(x) = (u^3)\prime \cdot u\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 3u^2 \cdot u\prime \,\,\,\,\,\,\,\, setter\, tilbake \\ \, \\ f\prime(x) = 3(x^2+5)^2 \cdot 2x \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = 6x(x^2+5)^2}}[/tex]

[espen180]

Pirk:

[tex]f(x) = (x^2 +5)^3 \\ \, \\ f(u) = (u)^3 \,\,\, der\, u = x^2+5 \,\,\, og \,\,\, u\prime = 2x \\ \, \\ f\prime(u) = (u^3)\prime \cdot u\prime \\ \, \\ f\prime(u) = 3u^2 \cdot u\prime \,\,\,\,\,\,\,\, setter\, tilbake \\ \, \\ f\prime(x) = 3(x^2+5)^2 \cdot 2x \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = 6x(x^2+5)^2}}[/tex]

[Thor-André]

dere misforstår mitt spørsmål (er ikke like godt til å formulere meg alltid, så det er min feil) men jeg lurer på hvordan:
[tex]3e^x (x + 1)^2 + e^x (x + 1)^3[/tex] kan bli til [tex]e^x (x + 1)^2 (x + 4)[/tex] bare ved hjelp av sammentrekning eller hva en skal kalle det...

[espen180]

Du kan jo prøve å gange ut og se hva du får.

[Thor-André]

[tex]3e^x (x + 1)^2 \,\, + \,\,e^x (x + 1)^3 \\ (3xe^x + 3e^x )^2 + (xe^x + e^x )^3 \\ e^x [(3x + 3)^2 (x + 1)^3 ] \\[/tex]

[espen180]

Hva? Nei, det går ikke. Potenser har høyere prioritering enn faktorer. Det du får er

[tex]3e^x(x^2+2x+1)+e^x(x^3+3x^2+3x+1)[/tex]

Det greier du vel å regne ut?

[Thor-André]

Nei, huff, tenkte helt feil

men er noe jeg likevel ikke helt får til, når du ganger ut får du:

[tex]e^x (3x^2 + 6x + 3 + x^3 + 3x^2 + 3x + 1)[/tex]

skal du så trekke sammen, og så løse det som en tredjegradslikning? er det ikke noen enklere måte?

[espen180]

Ja, det er det du må gjøre nå. Du har [tex]e^x(x^3+6x^2+9x+4)[/tex]

Dette kan vi faktorisere:

[tex]x^3+6x^2+9x+4=(x+4)(x+1)^2[/tex]

Prøv selv og se at det stemmer.

[Thor-André]

hmm, hvordan faktoriserer du det utrykket? du har ingen fellesnevner : /
hvis du taster det inn på kalkulatoren får du -1 og -4, og hvorfor er ikke svaret da [tex](x+1)(x+4)[/tex] ?

[BMB]

Fordi -1 er et dobbelt nullpunkt.

[Thor-André]

Hvordan kan du vite det når det står:
[tex] 1: -1[/tex]
[tex] 2: -4[/tex]

er det alltid slik at når vi får færre svar en graden på ligningen, så er den første løsningen (i dette tilfelle -1) et dobbelt nullpunkt?

[espen180]

En tredjegradsligning vil alltid, alltid bestå av leddene [tex]ax^3+bx^2+cx+d, \, \, \, \, a,b,c,d \in <\leftarrow,\rightarrow>[/tex]. Dette uttrykket kan faktoriseres hvis det har noen nullpunkter. I faktorisert form vil det stå som [tex](x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/tex]. I dette tilfellet; [tex]x^3+6x+9x+4[/tex] har vi to nullpunkter, som betyr at ett av dem et et dobbelt nullpunkt. Her er [tex]x=-1[/tex] det doble nullpunktet, som betyr at [tex]x^3+6x+9x+4[/tex] faktorisert blir [tex](x+4)(x+1)(x+1)=(x+4)(x+1)^2[/tex]


EDIT:

For å svare på spørsmålet ditt, nei. Det er ikke nødvendigvis løsningen nærmest origo som er det doble nullpunktet. Prøv å plotte inn ligningene [tex](x+1)(x+1)(x+4)[/tex] og [tex](x+1)(x+4)(x+4)[/tex] på kalkulatoren din.

EDIT2:

Kan være jeg som tar feil nå, men det viser seg at om du plotter inn grafen i et koordinatsystem, ligger det doble nullpunktet i x-verdien der grafen berører x-aksen, men ikke skifter fortegn.

[Thor-André]

okei, mente ikke nærmest origo, men det første svaret som kommer på kalkulatoren([tex]x_1[/tex]) men samme kan det være

takk for alle svar setter stor pris på det