Diagonalisering

[Nukleon]

Jeg sitter og skal diagonalisere en matrise
$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ -3& -5& -3\\ 3& 3& 1\end{array}\right)$

Jeg finner egenverdiene ved den karakteristiske ligningen

$0=det(A-\lambda I)=-{\lambda }^3-3{\lambda }^2+4$
$=-(\lambda -1)(\lambda +2{)}^2$

Jeg har da at egenverdiene er 1 og -2

Så skal jeg finne egenvektorene, men husker ikke helt jeg skal komme frem til dem. I eksampler som står i boken går de direkte fra egenverdiene og danner egenvektorer.
Er det noen som kan forklare prosessen (og særlig hvordan man går fra egenverdier til egenvektorer)?

[Andrina]

Jeg fikk et annet karakteristisk polynom, nemlig (5+x)(x+2)(x-4)...

Men uansett, så er jo egenvektorene v bestemt av at Av=cv, der c er egenverdien.

Så dermed er (A-cI)v=0, og v ligger altså i kjernen til matrisa A-cI.

Det du må gjøre er altså å finne kjernen til A-cI for hver enkel egenverdi c.

[Nukleon]

edit: Jeg hadde ikke fått trykket inn en minus der i andre rekken.

I boken finner de basis for $\lambda =1$ , $V_1\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$

$\lambda =-2$ , $V_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ og $V_3\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Ser forøvrig ikke hvordan jeg finner disse vektorene

[Andrina]

For eksempel for lambda=1:

Finn B=A-I, så må du løse likningssystemet Bx=0 (for eksempel ved å bringe matrisa B på trappeform).

For å finne egenvektorer til lambda=-2, så må du løse likningssysstemet
(A+2I)x=0.

[Nukleon]

Takk!

Fikk det til med denne metoden. Det satt nok bare litt langt inne, men det hele var logisk når jeg først oppdaget dette.