"Vis at ..."-oppgave med vektorer

[Emilga]

Vis at [tex]|\vec u \times \vec v|^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2[/tex].

Dette har jeg klart å vise ved å sette [tex]\vec u = [x_1,\,y_1,\,z_1][/tex] og [tex]\vec v=[x_2,\,y_2,\,z_2][/tex] og regne alt ut for hånd. Er det slik jeg skal gjøre det eller finnes det en kortere måte?

[daofeishi]

Det finnes ikke noen bestemt måte du "skal" gjøre det på. Ethvert gyldig matematisk bevis fungerer, men kanskje dette er enklere?:

[tex]|\vec u \times \vec v |^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 \sin^2 (\theta)[/tex]
Derifra kan du benytte en velkjent trigonometrisk identitet, og du er nesten i mål.

[Janhaa]

Vis at [tex]|\vec u \times \vec v|^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2\,\,\,[/tex](*)
Dette har jeg klart å vise ved å sette [tex]\vec u = [x_1,\,y_1,\,z_1][/tex] og [tex]\vec v=[x_2,\,y_2,\,z_2][/tex] og regne alt ut for hånd. Er det slik jeg skal gjøre det eller finnes det en kortere måte?

Denne (*) kalles forøvrig Lagranges identitet.
Det daofeishi foreslår funker bra. Du vil får en VS og HS, som du kan sammenlikne.

[Emilga]

Takk! Nå klaffet alt.

Vis at [tex]|\vec u \times \vec v|^2 = |\vec u|^2|\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2[/tex].

Vi har av definisjonen på vektorprodukt at:
(I) [tex]|\vec u \times \vec v| = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot sin\theta \,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, |\vec u \times \vec v|^2 = |\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot sin^2\theta[/tex]

Vi har også, av definisjonen på skalarprodukt, at:
(II) [tex]\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot cos\theta \,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, (\vec u \cdot \vec v)^2 = |\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot cos^2\theta[/tex]

Av enhetssirkelen og definisjonen på sinus og cosinus har vi at:
[tex]sin^2\theta + \cos^2\theta = 1[/tex]


Vi adderer (I) og (II):

[tex]|\vec u \times \vec v|^2 + (\vec u \cdot \vec v)^2 =|\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot sin^2\theta + |\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot cos^2\theta[/tex]

[tex]|\vec u \times \vec v|^2 + (\vec u \cdot \vec v)^2 =|\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2\cdot (sin^2\theta + cos^2\theta)[/tex]

[tex]|\vec u \times \vec v|^2 + (\vec u \cdot \vec v)^2 =|\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 \cdot 1[/tex]

[tex]|\vec u \times \vec v|^2=|\vec u|^2 \cdot |\vec v|^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2 [/tex]

Dette ble jo en mye kulere løsning, enn min primitive metode.

Har denne likheten noen bruksområder?

[Janhaa]

Tja, Venstre sida di gir jo kvadratet av absoluttverdien til vektorproduktet.
La oss si du har 3 punker (A, B og C) i rommet, så kan man via Lagrangs identitet finne arealet av trekanten ABC, hvis
[tex]|\vec {AB} \times \vec {AC}|^2[/tex]
er oppgitt.

[tex]\tex Arealet (trekant)= {1\over 2}|\vec {AB}\times \vec {AC}|[/tex]