Ligningssett med 2 ukjente, generell løsning. Treger hjelp.

12/06-2008 21:05

Hei folkens. Jeg kjeder meg, så jeg tenkte jeg kunne prøve å finne en generell løsning på et ligningssett med to ukjente. Slik var fremgangsmåten min.

a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2} x = \frac{c_{1} - b_{1} y}{a_{1}} a_{2} (\frac{c_{1} - b_{1} y}{a_{1}}) + b_{2} y = c_{2} \frac{a_{2} c_{1}}{a_{1}} - \frac{(a_{2} b_{1}) y}{a_{1}} + b_{2} y = c_{2} (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) y = a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1} y = \frac{a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} a_{1} x + \frac{a_{1} b_{1} c_{2} - a_{2} b_{1} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} = c_{1} x = \frac{c_{1}}{a_{1}} - \frac{a_{1} b_{1} c_{2} - a_{2} b_{1} c_{1}}{a_{1}^{2} b_{2} - a_{1} a_{2} b_{1}}

Det jeg kom fram til var altså:

x = \frac{c_{1}}{a_{1}} - \frac{a_{1} b_{1} c_{2} - a_{2} b_{1} c_{1}}{a_{1}^{2} b_{2} - a_{1} a_{2} b_{1}} y = \frac{a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}

Det første jeg gjorde var å sette dette inn i et tilfeldig ligningssett for å sjekke hvorvidt dette stemte.

Ligningssettet var

2 x + y = 5 2 x - y = 3

Løsningene over er x=2 og y=1, men når jeg prøvde med løsningen jeg hadde laget over ble det x=-2 og y=9/5.

Jeg har åpenbart gjort feil ett sted, men kan ikke se hvor. Jeg vet er en litt rotete utregning. Kan noen hjelpe meg?

12/06-2008 21:45

Dette er litt OT espen, men siden du er så ivrig og flink kan jeg introdusere deg for en fiffig løsningsmetode for lineære likningssystemer.

Dette lærer man vel på høyskole/universitet, men er ikke noe vanskelig. Bare et fint verktøy .
Kalles Cramers regel og da brukes determinanter for å bestemme løsninga av systemet.

x = \frac{| \begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |} = \frac{b_{2} \cdot c_{1} - b_{1} \cdot c_{2}}{a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}}

y = \frac{| \begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |} = \frac{a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1}}{a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}}

Søk på Cramers regel og determinant hvis du er interessert i mer info.

sett inn for ditt likningssystem, og sjekk...

Dinithion · 12/06-2008 21:58

Du trenger bare å massere litt til på formelen for x, så ender du opp med determinanten til Janhaa. Faktoriser nevner og finn fellesnevner. Resten er plankekjøring

12/06-2008 22:51

Leste litt om determinanter. Jeg market meg noen stilige aspekter ved det (f.eks. Areal av parallellogram).

Ja oss se om jeg har fått det med meg.

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] | A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}

Ved 3x3-matrisser brukes noen som kalles "cofactor expansion". JEg har ikke satt meg inn i det, men ifølge eksempelet på Wikipedia burde det være noe slikt som

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}] | A | = a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | - a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} | = a_{11} (a_{22} \cdot a_{33}) - a_{11} (a_{23} \cdot a_{32}) - a_{12} (a_{21} \cdot a_{33}) + a_{12} (a_{23} \cdot a_{31}) + a_{13} (a_{21} \cdot a_{32}) - a_{13} (a_{22} \cdot a_{31})

Stemmer dette?

Dinithion · 12/06-2008 23:17

Det ser riktig ut det. Den kan også faktoriseres til:

a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) - a_{12} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) + a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})

Det finnes ett par videoer på youtube viser en enkel måte å huske rekkefølgen på:

http://youtube.com/watch?v=kau7pUqmXgU

Der ser du han setter opp determinanten, pluss at den skriver kolonne 1 og 2 en gang til ved siden av, også trekker han streker. Han tegner ikke de siste strekene, men du ser hvor de skal være. Du skjønner systemet om du ser den

12/06-2008 23:24

Og en husk at man kan sjekke om likningssystemet har løsning, ved å betrakte determinanten. For ditt første spm., som ga 2x2 matrisa.

det (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}) = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | \neq 0

Men dette gjelder jo generelt, at for matrisa A, må det(A) [symbol:ikke_lik] 0
for at likningssystemet har løsning.

15/06-2008 13:37

Jeg kom nettop på noe - hva om man prøver å bruke gauss-eliminasjon for å finne en generell løsning?

Vi gir ligningsettet slik:

[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}]

Hvis vi kaller den første ligningen

A

og den andre

B

Blir det da riktig å trekke

\frac{\ln (a_{2})}{\ln (a_{1})} \cdot A

fra

B

for å finne

y

?

Vil jeg til slutt sitte igjen med samme svar som du fikk ved determinanter?

Charlatan · 15/06-2008 13:49

Prøv å nå isolere

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

ved å finne inversen til 2x2 matrisen.

15/06-2008 13:57

Isolere den? Jeg har inversen til matrisen, men hva gjør jeg med den?

Charlatan · 15/06-2008 13:58

Gang på venstre side av begge sidene av likningen med inversen og se hva du får.

15/06-2008 14:26

espen180 wrote:Isolere den? Jeg har inversen til matrisen, men hva gjør jeg med den?

Du har ikke regna ut den inverse matrisa

A \vec{X} = B

\vec{X} = A^{- 1} B

fordi

A^{- 1} A = A A^{- 1} = I

der I er identitetsmatrisa med 1 på hoveddiagonalen.

EDIT; supplerte