Sparing

[Wentworth]

Ole setter inn 4000 kroner på en bankkonto hvert år i 40 år. Han får 5% rente per år i hele perioden.
Hvor mye har Ole i banken ett år etter at han betalte inn det siste beløpet.

jeg prøver;
[tex]S_{42}=4000 \cdot \frac{1,05^{42}-1}{1,05-1}=540927,0044[/tex]
Men svaret stemmer ikke.

[espen180]

Jeg ville regnet med at han har de første 4000 kronene i banken i kun 41 år, og at man derfor må summe til 41.

[tex]4000\cdot1.05^{41}+4000\cdot1.05^{40}... \\ a_n=4000\cdot1.05^{41-n} \\ S_n=\frac{4000(1.05^n-1)}{0.05} \\ S_{41}=511359.05[/tex]


Hva sier fasiten?

[Wentworth]

Fasit: 507359

[Knuta]

Legg merke til at espen sitt svar er 4000 over fasit.
Dvs. i regnestykke til espen er det 41 innbetalinger à 4000. men kun 40 år med renter.

[Wentworth]

Ja, for når man regnet ut sum får man med de første årets 4000 kronene uten rente sammen med de 39+1 årene med renten, og når man tar med denne utligningen får man med det innsattebeløpet på 4000 kroner i begynnelsen av 42. året, men oppgaven forteller at det sum beløpet vi skal finne er et år etter den siste innbetalingen på 4000 kroner, og da vet vi at etter den siste betalingen er vi på år 41. året minus første året som ikke er med renten,og da trekker vi 4000 kroner siden i sum regning tas det med den siste innbetalingen på 4000 kroner for det 42.ende året, som ikke skal tas med, sant?

[Dinithion]

Den enkleste måten å gjøre det på er å gange 4000 med 1.05 for å få renter på det første beløpet som blir satt inn, og så regne med det antall år som oppgaven spesifiserer.

Det var litt dårlig forklart, så jeg setter opp regnestykket:

[tex]4000*1.05 * \frac{1.05^{40} -1}{1.05-1}[/tex] = 507359[/tex]

Ser du hvorfor det funker?

[Wentworth]

Den enkleste måten å gjøre det på er å gange 4000 med 1.05 for å få renter på det første beløpet som blir satt inn, og så regne med det antall år som oppgaven spesifiserer.

Det var litt dårlig forklart, så jeg setter opp regnestykket:

[tex]4000*1.05 * \frac{1.05^40 -1}{1.05-1}[/tex] = 511359,0518[/tex]

Ser du hvorfor det funker?

Det blir feil å si at det første beløpet er med renter for når han setter de første pengene inn må det gå ett år før renten påløper,dermed er de første kronene på 4000 UTEN renter og når vi bruker formelen for geometrisk sum og når det gjelder denne oppgaven blir det dermed ;

[tex]4000 \cdot \frac{1,05^{41}-1}{1,05-1}=511359,0518[/tex]Her er det tatt med de første 4000 UTEN rente og resten av de 40 med renter, oppgaven spør om hvor mye Ole har etter det siste innskudde sitt som vi vet er med renter for oppgaven forteller at etter ett år, (og da har jo pengene det siste innskuddet hans vært inne i et år som fører til renten). DERMED blir pengene i år 42. som er på 4000 kroner som er i begynnelsen av 42 året UTEN renter også tatt med! DERFOR trekker vi disse pengene fra de 41. årene. Altså ;

[tex]511359,0518 - 4000=507359,0518[/tex]kroner.

[Dinithion]

Nei, det blir rett! Hvis vi tar ett mindre eksempel. Vi setter 100 kroner inn på kontoen i året, med 10% rente i fem år. Hvor mye er det på konto ett år etter siste innbetaling.
Første året setter vi inn 100 Dermed har vi ett år etter dette (Etter vi har satt inn den andre hundrelappen på konto)

100*1.1 + 100*1.1^0

Den første hundrelappen har nå fått 10% rente, altså ganger vi med 1.1, den andre hundrelappen får ingen renter, altså vi plusser på 100.

Etter to år har vi fått renters rente, derfor må vi gange den første hundrelappen med 1.1 to ganger, den andre hundrelappen en gang, og den siste skal ikke få renter, dermed:

100*1.1^2 + 100*1.1^1 + 100*1.1^0

tre år:

100*1.1^3 + 100*1.1^2 + 100*1.1^1 + 100*1.1^0

fire år:

100*1.1^4 + 100*1.1^3 + 100*1.1^2 + 100*1.1^1 + 100*1.1^0

etter fem år:

100*1.1^5 + 100*1.1^4 + 100*1.1^3 + 100*1.1^2 + 100*1.1^1 + 100*1.1^0

Vi skal ha ett år ETTER han har satt inn siste beløp på konto, dermed må vi vente enda ett år, men vi skal IKKE sett inn en ny hundrelapp. Derfor må HELE beløpet få renter dette året. Det blir det samme som å gange hvert ledd med rentesatsen. Då får vi formelen:

100*1.1^6 + 100*1.1^5 + 100*1.1^4 + 100*1.1^3 + 100*1.1^2 + 100*1.1^1

Grunnen for at jeg har vært konsekvent med å opphøye selv om jeg kunne skrevet +100, er at det er lettere å se dette kan regnes ut med en sumfunksjon:

[tex]\sum_{n=1}^6 100*1.1^n[/tex] (Som kan brukes å verifisere svaret jeg kommer til å få senere).

Vi har altså rekken som jeg skrev over. Litt penere, så ser den slik ut:

[tex]100*1.1^6 + 100*1.1^5 + 100*1.1^4 + 100*1.1^3 + 100*1.1^2 + 100*1.1[/tex]

Her kan vi sette 100*1.1 utenfor fordi det er felles i alle ledd:

[tex]100*1.1(1.1^5 + 1.1^4 + 1.1^3 + 1.1^2 + 1.1^1 + 1) = 110 (1.61051 + 1.4641 + 1.331 + 1.21 + 1.1 + 1) = 110(7.71561) = 848.7171 \\ \sum_{n=1}^6 100*1.1^n = 848.7171[/tex]

Hvis du klarer å være enig i at siden det er ett år etter siste innbetaling må HELE beløpet få renter for ett ekstra år, så er du sikkert enig i at det blir det samme som å gange formelen for summen av geometrisk rekke med renten.

Formelen er:
[tex]S_n = a_1 \frac{k^n - 1}{k - 1} \\ ganger\, med\, renten \\ S_n\, (Ett\, aar\, etter) = k(a_1 \frac{k^n - 1}{k -1}) = a_1 \cdot k \frac{k^n -1}{k - 1}[/tex]

Substituerer numrene i din oppgave:

[tex]S_n = 4000 \cdot 1.05 \frac{1.05^{40} - 1}{1.05 - 1}[/tex]

Voila! Nøyaktig det samme jeg skrev i min andre post (Etter jeg korrigerte en skriveleif i latexen).

[Knuta]

Denne er riktig.

[tex]\sum_{n=1}^{40} 4000\cdot 1.05^n[/tex]

m.a.o. 40 innbetalinger à 4000 der første innbetaling har 40 års rente og siste innbetaling har 1 år med rente.

Da jeg utledet [tex]\sum_{n=1}^{x} 4000\cdot 1.05^n[/tex] satt jeg igjen med [tex] 84000\cdot 1.05^x - 84000 [/tex]

setter vi inn x=1 får vi 4200,- som er 4000 og 200kr i rente etter et år.
x=40 gir 507359,-

[Wentworth]

Ole setter inn 4000 kroner på en bankkonto hvert år i 40 år. Han får 5% rente per år i hele perioden.
Hvor mye har Ole i banken ett år etter at han betalte inn det siste beløpet.

Jeg er helt enig i at siden det siste beløpet påløper seg renten på 5 prosent må det ha seg slik at det er det samme som at det første beløpet som ikke skulle ha renter også har det, og dermed er det siste året 41. uten rente og uten innskudd, som eksemplet ditt (ikke en ekstra hundre lapp) for fra det siste året tas det med 5 prosent rente til det første året dermed blir n=1, og oppgaven her forteller at det er 40 år, og rentene blir påløpt i hele perioden. Dermed ;

[tex]\sum_{n=1}^{40} 4000\cdot 1.05^n[/tex] Eureka! Takker og bukker!:D