Rekker 3MX, jeg løser

[MatteNoob]

Tone bestemmer seg for å reise til Australia. Hun begynner å spare i begynnelsen av 2001.

Odd vil være med Tone i eksempel 3 til Australia. Han vil følge samme spareplan som Tone, men vil spare så mye at han kan ta ut minst 50 000 kr fra kontoen i begynnelsen av 2005.

a) Hvor stort årlig beløp må Odd spare hvis renten er 6%?

Turen til Australia blir utsatt til begynnelsen av 2008. Odd bestemmer seg for å fullføre sparingen etter den opprinnelige planen. I tillegg vil han sette inn 8000 kr i begynnelsen av 2005 og 2006. Deretter vil kontoen stå urørt.

b) Hvor mye står på kontoen i begynnelsen av 2008 hvis renten hele tiden er 6%?

a)
Odd må spare x kroner i årlige beløp.

Vi har:
[tex]S_{4} = 50 000 \\ \, \\ \frac{1.06x\left(1.06^4 - 1\right)}{1.06-1} = 50000 \\ \, \\ 1.06x = \frac{50000 \cdot 0.06}{1.06^4 - 1} \\ \, \\ x = 11429.57462 \\ \, \\ \underline{\underline{x \approx 10783\, kr}}[/tex]

b)
[tex]\left(50000\cdot 1.06^2 + \frac{8000\cdot 1.06(1.06^2-1)}{0.06}\right) \cdot 1.06 =1.06(56180 + 17468.8) \approx \underline{\underline{78\, 068\, kr}}[/tex]

[MatteNoob]

Finn nåverdien av 10 000 kr om 4 år, når renten er 7%

[tex]K_0\cdot 1.07^4 = 10000 \\ \, \\ K_0 = \frac{10 000}{1.07^4} \\ \, \\ \underline{\underline{K_0 \approx 7628.95\, kr}}[/tex]

[MatteNoob]

Lars Henrik vil kjøpe en bil til 240 000 kr. Han betaler 140 000 kr kontant. Resten tar han på avbetaling. Vilkårene er slik at han skal betale 5 like store årlige beløp, det første beløpet om ett år. Bilfirmaet beregner seg 18% rente per år.

a) Hvor stort årlig beløp må han betale? Utfør beregningen med både "sluttverditankegangen" og "nåverditankegangen".

b) Hva må han betale tilsammen i renter?

a)
Lars Henrik skylder bilfirmaet 100 000 kr.
Han skal betale 5 like store årlige beløp.
De skal ha 18% rente.

"Sluttverdimetoden"
For at avbetalingsplanen skal være likeverdig for kjøperen, må beløpene Lars Henrik betaler svare til sluttverdien [tex]100000\cdot (1+\frac{18}{100})^5[/tex]

Vi har dermed:

[tex]\frac{x\left(1.18^5-1\right)}{1.18-1} = 100 000 \cdot 1.18^5 \\ \, \\ x = \frac{100000\cdot 1.18^5 \cdot 0.18}{(1.18^5-1)} \\ \, \\ \underline{\underline{x \approx 31\, 978\, kr.}}[/tex]

"Nåverdimetoden"
Vi antar at vi ikke vet hvor mye Lars Henrik må betale.

[tex]\frac{\frac{x}{1.18}\cdot \left(1-\left(\frac{1}{1.18}\right)^5\right)}{1-\frac{1}{1.18}} = 100000 \\ \, \\ x = \frac{100000\cdot \left(1-\frac {1}{1.18}\right) \cdot 1.18}{\left(1- (\frac {1}{1.18})^5\right)} \\ \, \\ \underline{\underline{x \approx 31\, 978\, kr}}[/tex]

b)
[tex]R = 5x -100 000 \Rightarrow 5\cdot 31978 -100 000 = \underline{\underline{59\, 890\, kr.}}[/tex]

[MatteNoob]

Gitt en uendelig geometrisk rekke der [tex]a_1 = 600[/tex] og [tex]k = 0.75[/tex]

a) Skriv opp de fire første leddene.

b) Finn [tex]S_{10}[/tex] og [tex]S_{100}[/tex]

c) Avgjør om rekka divergerer eller konvergerer, og finn eventuelt summen.

a)
Vi har ei geometrisk rekke der leddene er gitt ved:
[tex]a_n = 600 \cdot 0.75^{n-1}[/tex]

Følgelig er de fire første leddene:

[tex]\begin{matrix}n & 1 & 2 & 3 & 4 \\ a_n & 600 & 450 & 337.5 & 253.12\end{matrix}[/tex]

b)
Vi velger å bruke: [tex]S_n = \frac{a_1 \cdot (1-k^n)}{1-k}[/tex] fordi [tex]-1<k<1[/tex]

[tex]S_{10} = \frac{600\cdot (1-0.75^{10})}{0.25} \approx \underline{\underline{2264.8}} \\ \, \\ \, \\ S_{100} = \frac{600\cdot (1-0.75^{100})}{0.25} = \underline{\underline{2400}}[/tex]

c)
Vi observerer at:
[tex]S_n = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{600\cdot(1-0.75^n)}{0.75} = \frac{600\cdot (1-0)}{0.25} \\ \, \\ \Updownarrow \text{Rekka konvergerer mot summen, S, nar n blir tilstrekkelig stor.} \\ \, \\ S = \frac{a_1}{1-k} \Rightarrow \frac{600}{0.25} = \underline{\underline{2400}} \\ \, \\ \underline{\underline{\text{Dette skjer fordi -1<k<1}}}[/tex]

Samme spørsmål som i oppgave 1.42 når

a) [tex]a_1 = 600[/tex] og [tex]k = 1.25[/tex]

b) [tex]a_1 = 600[/tex] og [tex]k = 0.95[/tex]

Jeg svarer ikke på hva [tex]S_{10}[/tex] og [tex]S_{100}[/tex] blir, det er samme fremgangsmåte som ovenfor. Derimot svarer jeg på om de konvergerer eller divergerer, og hva summen, S, i tilfellet går mot.

a)
[tex]S_n \rightarrow \infty\,\,\, n\aa r \,\,\, n\rightarrow \infty\,\,\, fordi\,\,\, k>1\\ \, \\ \underline{\underline{\text{Rekka er divergent}}}[/tex]

b)
Denne rekka er konvergent siden -1<k<1 Vi setter:

[tex]S = \lim_{n\rightarrow \infty} \\ \, \\ \Downarrow \text{Dette leder til:} \\ \, \\ S = \frac{600}{1-0.95} = \frac{600}{0.05} = \underline{\underline{12000}}[/tex]

[MatteNoob]

Vann renner ut fra et akvarium. Antall liter vann som renner ut hvert sekund de 60 første sekundene danner en tilnærmet geometrisk rekke der [tex]a_1=3.8[/tex] og [tex]k = 0.95[/tex]. Vi vil bruke formelen for [tex]S_n[/tex] til å finne hvor mye vann som renner ut i løpet av de 60 første sekundene.

[tex]S_{60} = \frac{3.8\cdot(1-0.95^{60})}{1-0.95} = 72.5[/tex]

Det renner ut ca. 72 liter vann.

Ta for deg eksempel 3, side 28. Vi tenker oss nå at vannmengden som renner ut per sekund, danner en geometrisk rekke også etter at det har rent i 60 sekunder - så lenge det er vann igjen!

a) Er rekka divergent eller konvergent?

b) Kan vi ut fra vår antakelse si noe om den opprinnelige vannmengden i akvariet?

a)
Rekka er konvergent fordi [tex]0.95^n[/tex] går mot 0 når n blir tilstrekkelig stor.

b)
Så absolutt, når ei rekke er konvergent, kan vi finne ut hva den konvergerer mot ved å gjøre slik jeg har gjort nedenfor.

[tex]S = \frac{3.8}{0.05} = \underline{\underline{76\, liter}}[/tex]

Som en digresjon vil jeg hevde at dette er et pålitelig svar, for her snakker vi om et stueakvarium, og dersom vi antok at det var formet som en perfekt kube med lik lengde bredde og høyde, ville vi få sider lik:

[tex]\sqrt[3]{76} \approx 4.2\, dm = 42\, cm[/tex]

Det vil jeg påstå er en rimelig god antagelse på hvor stort et slikt akvarium er.

[Dinithion]

Bare litt pirk på oppgave b. Rekken konvergere (Som du skrev i oppgave a), den divergerer ikke

[MatteNoob]

Samleoppgavene begynner her. De er på s. 46 i læreboken.

Skriv opp de neste tre leddene i tallfølgene:

a) [tex]200,\, 235,\, 270,\, 305,\, 340,\, \ldots[/tex]

b) [tex]1,\, 3,\, 6,\, 10,\, 15,\, \ldots[/tex]
Kjenner du igjen disse tallene? Tegn figur som illustrerer de sju første tallene i tallfølgen.

c) [tex]2,\, 6,\, 12,\, 20,\, 30,\, \ldots[/tex]
Beskriv mønsteret i denne tallfølgen med ord.

a)
[tex]a_2 - a_1 \Rightarrow 235 - 200 = 35 \\ \, \\ a_4 - a_3 \Rightarrow 305-270 = 35 \\ \, \\ a_n = 165 + 35n[/tex]

Dermed har vi:
[tex]375,\, 410,\, 445,\, \ldots[/tex]

b)
Tallene i følgen øker med 1 mer enn tallet foran.
[tex]a_n = a_{n-1} +n[/tex]

[tex]21,\, 28,\, 36,\, \ldots[/tex]

De syv første tallene i følgen er, og disse kaller vi "trekanttallene".
[tex]1,\, 3,\, 6,\, 10,\, 15,\, 21,\, 28[/tex]

[tex]\begin{matrix} 1\\ 2&2 \\ 3&3&3 \\ 4&4&4&4 \\ 5&5&5&5&5 \\ 6&6&6&6&6&6 \\ 7&7&7&7&7&7&7 \end{matrix}[/tex]

Dersom du teller alle tallene i hver av radene, vil du komme til 28, som er det syvende tallet i tallfølgen.

c)
[tex]42,\, 56,\, 72,\, \ldots[/tex]
Tallet som legges til, øker med 2 for hver gang.

[MatteNoob]

Bare litt pirk på oppgave b. Rekken konvergere (Som du skrev i oppgave a), den divergerer ikke

Selvfølgelig, hehe. Takk for at du ser over og påpeker, selvom det der bare var en "tankefeil", så gjør den hele ressonementet misvisende :]

Har forøvrig rettet det opp nå ;]

[espen180]

c)
[tex]42,\, 56,\, 72,\, \ldots[/tex]
Tallet som legges til, øker med 2 for hver gang.

Bare legger til:
[tex]a_n = \left\{ \begin{array}{l l} 0 & \quad \mbox{om} \, n=0\\ a_{n-1}+2n & \quad \mbox{om}\, n>0 \end{array} \right.[/tex]

[MatteNoob]

Gitt den aritmetiske rekka
[tex]40+45+50+55+\ldots[/tex]

a) Skriv opp de fire neste leddene i rekka.

b) Finn et uttrykk for [tex]a_n[/tex] og bruk dette til å finne det tjuende leddet.

c) Finn et uttrykk for summen av n ledd og bruk dette til å finne summen av de tjue leddene.

d) Bruk lommeregner til å finne summen av de tjue leddene.

a)
[tex]60,\, 65,\, 70[/tex]

b)
Den aritmetiske rekka øker med 5 for hver gang. Dette kan vi uttrykke slik:
[tex]a_n = 35 + 5n \,\,\, \Leftrightarrow\,\,\, 40+(n-1)5 \\ \, \\ a_{20} = 35+5\cdot 20 = 135[/tex]

c)
For ei aritmetisk rekke, er summen av det n-te leddet lik:

[tex]S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} \\ \, \\ \Downarrow \text{Dermed har vi:} \\ \, \\ S_{20} = \frac{(40+135)\cdot 20}{2} = \underline{\underline{1750}}[/tex]

For å bevise at dette er riktig, kan vi sette opp rekka for feks [tex]S_4[/tex] to ganger, slik:

[tex]S_4 = 40+45+50+55 = 190 \,\,\, \wedge \,\,\, S_4 = 40+45+50+55 = 190 \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Dette er ekvivalent med:} \\ \, \\ 2\cdot S_4 = 40+45+50+55 \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Vi grupperer leddene for hver side med parenteser.} \\ \, \\ 2\cdot S_4 = (40+55) + (45+50) \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Observer at summen i hver av parentesene er lik. \\ Vi forkaster den ene, og ganger med antall ledd.} \\ \, \\ 2\cdot S_4 = (40+55) \cdot 4 \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Deretter dividerer vi med 2 slik at S_4 blir alene.} \\ \, \\ S_4=\frac{(40+55)\cdot 4}{2} = 190 \Rightarrow S_n = \frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}[/tex]

d)
På Casio fx-9750G Plus gjør du følgende:

Gå inn i "RUN"
Trykk "OPTN" knappen.
Klikk "F4" for "CALC"
Klikk "F6" for ">"
Plott "F3" for "[tex]\Sigma ([/tex]"

Skriv inn:

[tex]\Sigma (35 + 5X,\, X,\, 1,\, 20,\, 1)[/tex]
Dette betyr:
Summer: 35+5X
Der X er variabel.
Summer fra 1
Summer til 20
Summer med hopp på 1 av gangen.

Hvis du har gjort det riktig, skal du få 1750 :]

[espen180]

På oppgave c, tror du ikke de mener at du skal finne et uttrykk for summen av de n første leddene i denne rekka, slik som i "Summen av de n første pertall"-oppgaven?

Dessuten vil jeg gjerne ha lit mer utdyping i beviset ditt. Det virker som at du bare multipliserer uten mening. For eksempel multipliserer du H.S. med 4 uten å forandre V.S, og du sier at [tex]S_4=2\cdot S_4[/tex]. Er det jeg som surrer her?

[MatteNoob]

Eivind har bestemt seg for å spare "aritmetisk" i noen måneder fremover. Den første måneden er sparebeløpet 500 kr. Den andre måneden vil han spare 530 kr.

a) Hvor mye vil han spare den 14. måneden?

b) Finn ved regning hvor mye han vil spare i alt iløpet av de 14 første månedene?

c) Bruk lommeregnermedoten til å svare på oppgave b.

a)
Vi ser at sparebeløpet øker aritmetisk med 30 kr per mnd.

[tex]a_n = 470 + 30n \\ \, \\ a_{14} = 470 + 30 \cdot 14 \\ \, \\ \underline{\underline{a_{14} = 890\, kr}}[/tex]

b)
[tex]\sum_{n=1}^{14} 470+30n \Leftrightarrow \frac{(500 + 890)14}{2} = \underline{\underline{9730\, kr.}}[/tex]

c)
[tex]\Sigma(470+30X, X, 1, 14, 1) = 9730[/tex]

[MatteNoob]

På oppgave c, tror du ikke de mener at du skal finne et uttrykk for summen av de n første leddene i denne rekka, slik som i "Summen av de n første pertall"-oppgaven?

Dessuten vil jeg gjerne ha lit mer utdyping i beviset ditt. Det virker som at du bare multipliserer uten mening. For eksempel multipliserer du H.S. med 4 uten å forandre V.S, og du sier at [tex]S_4=2\cdot S_4[/tex]. Er det jeg som surrer her?

Det er rett i forhold til fasit skulle jeg mene. Angående beviset, jeg lærte dette av læreboken, mulig jeg har gjort feil, men jeg kan ikke se noen.

Dette har jeg lest:

[espen180]

c)
For ei aritmetisk rekke, er summen av det n-te leddet lik:

[tex]S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} \\ \, \\ \Downarrow \text{Dermed har vi:} \\ \, \\ S_{20} = \frac{(40+135)\cdot 20}{2} = \underline{\underline{1750}}[/tex]

For å bevise at dette er riktig, kan vi sette opp rekka for feks [tex]S_4[/tex] to ganger, slik:

[tex]S_4 = 40+45+50+55 = 190 \,\,\, \wedge \,\,\, S_4 = 40+45+50+55 = 190 \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Dette er ekvivalent med:} \\ \, \\ 2\cdot S_4 = 40+45+50+55 \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Vi grupperer leddene for hver side med parenteser.} \\ \, \\ 2\cdot S_4 = (40+55) + (45+50) \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Observer at summen i hver av parentesene er lik. \\ Vi forkaster den ene, og ganger med antall ledd.} \\ \, \\ 2\cdot S_4 = (40+55) \cdot 4 \\ \, \\ \Updownarrow \text{ Deretter dividerer vi med 2 slik at S_4 blir alene.} \\ \, \\ S_4=\frac{(40+55)\cdot 4}{2} = 190 \Rightarrow S_n = \frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2}[/tex]

Jeg har nummerert stegene jeg tar, og under har jeg skrevet hva jeg mener du gjorde "feil" i ditt bevis.

Jeg ville gjort det slik:

[tex]\text{1. Vi finner 2 uttrykk for S_4:} \\ S_4=40+45+50+55 \\ S_4=55+50+45+40 \\ \Updownarrow \text{ 2. Vi kombinerer disse og faar et uttrykk for 2\cdot S_4:} \\ 2\cdot S_4=(40+55)+(45+50)+(50+45)+(55+40) \\ \Updownarrow \text{ 3. Vi observerer at ale parantesene har samme sum, og trekker dem sammen.} \\ 2\cdot S_4=(40+55)\cdot 4 \\ \Updownarrow \text{ 4. Vi dividerer med 2 på begge sider av likhetstegnet og isolerer S_4:} \\ S_4=\frac{(40+55)\cdot 4}{2} \\ \Updownarrow \text{ 5. Vi observerer at verdiene er de samme som foerste og fjerde ledd, samt antallet ledd som summeres. \\ Vi subtituerer disse verdiene og finner den generelle formelen:} \\ S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex]

1. Uttrykkene er identiske. Ikke noe å bry seg med, men det gjør det vanskeligere å se hva som skjer i steg 2.

2. Dette uttrykket er feil. Du har kun tatt med ett av uttrykkene dine istedenfor begge.

3. Dette uttrykket er feil av samme grunn som at steg 2 er feil.

4. Her trekker du sammen to paranteser like paranteser og multipliserer med 4 istedenfor 2. Dette steget er riktig for seg selv, men ikke i forhold to steg 2 og 3.

5. Her ser jeg ikke noe feil.

[MatteNoob]

Tusen takk for den detaljerte og vel utførte rettelsen, espen. - Slike ting setter jeg pris på, ca 998,- :]

Eline har laget en "geometrisk" strategi for sparing i noen måneder fremover. Den første måneden er sparebeløpet 2000 kr. Den andre måneden vil hun spare 1900 kr.

a) Hvor mye må eline spare den tredje måneden?

b) Finn ved regning hvor mye hun vil spare iløpet av de 10 første månedene. Rund av svaret til nærmeste 10 kr.

c) Bruk lommeregneren til å svare på b.

d) Finn ved regning hvor lang tid det tar før det månedlige sparebeløpet kommer under 1300 kr.

e) Finn ved regning hvor mange måneder hun må spare for at summen av alle sparebeløpene skal bli minst 20 400 kr.

a)
[tex]k = \frac{1900}{2000} = \underline{0.95}[/tex]

[tex]a_n = a_1 \cdot k^{n-1} \\ \, \\ a_n = 2000 \cdot 0.95^{n-1} \\ \, \\ a_3 = 2000 \cdot 0.95^{3-1} = \underline{\underline{1805\, kr.}}[/tex]

b)
[tex]S_{10} = \frac{2000(1-0.95^{10})}{1-0.95} \approx \underline{\underline{16\, 050\, kr.}} [/tex]

c)
[tex]\Sigma(2000\times 0.95^{X-1}, X, 1, 20, 1) \approx 16050[/tex]

d)
[tex]2000\cdot 0.95^{n-1} \, < \, 1300 \\ \, \\ 0.95^{n-1} \, < \, \frac{1300}{2000} \\ \, \\ n \, < \, \frac{log(0.65)}{log(0.95)} + 1 \\ \, \\ n \, < \, 9.398[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Det kommer under den 10ende mnd.}}}[/tex]

e)

[tex]S_{n} \geq 20400 \\ \, \\ \frac{2000(1-0.95^n)}{0.05} \geq 20400 \\ \, \\ 0.95^n \geq \frac{20400\cdot 0.05}{2000} \\ \, \\ n \geq \frac{log(0.51)}{log(0.95)} \\ \, \\ \underline{n \geq 13.127}[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{Da ma hun spare i 14 mnd.}}}[/tex]