Vektor i rommet

[Dinithion]

Oppgaven lyder som følger:

Punktene A(1,0,0), B(0,2,3) og C(1,3,0) er gitt.

a) [tex]Finn\, \vec{AB}\, og\, \vec{AC}[/tex]

Punktene A, B og C danner sammen med punktet D et parallellogram ABCD.

b) Finn koordinatene til D.

c) Finn koordinatene til M når M er midtpunktet på linjestykket AB.

a og c er grei. Forsåvidt b også.

a) [tex]\vec{AB} = [-1, 2, 3] \\ \vec{AC} = [0,3,0][/tex]

b) [tex]D = \vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AC} + \vec{AB} = [0,5,3][/tex]

Evt bare plusse på AB-vektor til punkt C, same shit, different wrapping. Etter litt skissering, så blir dette parallellogrammet akkuratt slik jeg hadde forestilt meg. Men fasiten vil ha det andre parallellogrammet, de gjort slik:

[tex]D = \vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AC} - \vec{AB} = [2, 1, -3][/tex]

Den ser også ut som ett parallellogram på mine skisseringer. Så når vet man hvilket av dem man skal velge? For meg virker min framgangsmåte mest logisk.

[espen180]

Vel, får man oppgitt tre punkter finnes det jo bare ett paralellogram som passer, eller?

Etter å ha skissert punktene virker det som om [tex]D=\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{CB}[/tex] er et naturlig valg, siden i et paralellogram er sidene parvis like, som betyr at [tex]\vec{CB}=\vec{AD}[/tex].


EDIT:

Koordinatene til D blir da etter mine beregninger [tex]D=\vec{OA}+\vec{CB}=[1,0,0]+[1,1,-3]=(2,1,-3)[/tex]

[Dinithion]

Nei, det finnes to. Jeg har illustrert med ett eksempel her:



Det ble litt lite, bildet ligger http://bildr.no/view/215214

Forholdet mellom ABC er likt mellom FGH. Jeg bare flyttet en av dem lenger opp slik at de kunne være adskilt. Det ble så mye rot når jeg tegnet to parallellogram ved hjelp av samme trekant. Uansett, om jeg parallellforskyver AC slik at den begynner i B, får man det første parallellogrammet, men dersom man parallellforskyver AC slik at den slutter i B, får man det nederste parallellogrammet (Edit: Det blir også forskjellen mellom AB og -AB).

[espen180]

Ja, om du forandrer rekkefølgen på punktene kan det lages flere paralellogrammer. Men Hvis punktene A, B og C er definert, finnes det bare ett paralellogram ABCD, ikke sant?

[Dinithion]

Hmm. Da har jeg nok gått glipp av noe. Hvorfor spiller rekkefølgen en rolle?

[espen180]

I denne oppgaven tror jeg ikke den spiller noen rolle, siden kun punktene er definert, ikke linjene som binder dem sammen.

[Dinithion]

Ok, men jeg forstår fremdeles ikke hvorfor det bare finnes ett parallellogram? Jeg har jo klart å lage to

[espen180]

Jo, men du har forandret posisjonene til t0 av punktene, har du ikke det?

[Dinithion]

Nei, ikke som jeg vet om. (Bildet var bare ett eksempel bilde med prikker som jeg tok ut i fra lufta).