Integrasjon av trigonometrisk funksjon

[Dinithion]

Jeg kom over en oppgave for noen dager siden. Essensen er at jeg klarer å løse den og kommer fram til riktig svar, men når jeg forenkler uttrykket og integrerer den etterpå, så stemmer ikke svaret lenger. Så ett eller annet sted gjør jeg en feil, men jeg klarer ikke se hvor. Oppgaven lyder:
Vis at
[tex]\int (5sin\, x\, cos\, x - 2sin^2\, x)\, dx = \frac{5}{2} sin^2\, x + sin\, x\, cos\, x - x +C[/tex]

[tex]\int (5sin\, x\, cos\, x - 2sin^2\, x)\, dx = \int 5sin\, x\, cos\, x\, dx - \int 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos\, 2x)\, dx[/tex]

Jeg deler stykket i to så slipper det å bli så sykt langt

[tex]\int 5sin\, x\, cos\, x\, dx \\ u^{\tiny\prime} = cos\, x\,\, u = sin\, x \\ v = 5sin\, x\,\, v^{\tiny\prime} = 5cos\, x \\ 5sin^2\, x - \int 5sin\, x\, cos\, x\, dx \\ 2\int 5sin\, x\, cos\, x\, dx = 5sin^2\, x \\ \int 5sin\, x\, cos\, x\, dx = \frac{5}{2} sin^2\, x +C[/tex]

Så til den andre

[tex]-\int 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos\, 2x)\, dx = -\int (1 - cos\, 2x)\, dx = -(x - \frac{1}{2}sin\, 2x) = sin\, x\, cos\, x -x +C[/tex]

Slår de to sammen og får:

[tex]\frac{5}{2} sin^2\, x + sin\, x\, cos\, x - x +C[/tex]

Så, etter langt om lenge og lenger en langt, til spørsmålet. Når jeg prøver å forenkle, så får jeg det ikke til å stemme. Hvis jeg forenkler den første delen av integralet, så blir det bare rot:

[tex]\int 5sin\, x\, cos\, x\, dx = \int \frac{5}{2}sin\, 2x\, dx = - \frac{5}{4} cos\, 2x +C[/tex]

Den andre delen av integralet forblir uendret, og jeg står igjen med:

[tex]sin\, x\, cos\, x - \frac{5}{4} cos\, 2x - x +C[/tex]

Når jeg tegner de to grafene på kalkulatoren, overlapper de hverandre ikke. Er det noen som klarer å se hva/hvor jeg gjør feil?

[FredrikM]

Tips:

Når oppgaven sier "vis at", kan du jo bare derivere høyresiden, og vise at du får samme resultat som i integralet.

[Dinithion]

Heh, lurt. Det har jeg faktisk ikke tenkt på. Men problemet er som sagt ikke at jeg ikke får løst oppgaven, men hvorfor jeg ikke kan forenkle utrykket slik jeg synes virker logisk

[Karl_Erik]

Det virker som spørsmålet ditt er hvorfor [tex]sin\, x\, cos\, x - \frac{5}{4} cos\, 2x - x +C[/tex] ikke er lik [tex]\frac{5}{2} sin^2\, x + sin\, x\, cos\, x - x +C[/tex]. Svaret er at de faktisk er det. Du legger kanskje merke til hvordan de to uttrykkene du ikke får til å bli lik hverandre er forskjøvet i forhold til hverandre? Tegner du grafene ligger den ene vel 1.25 over den andre overalt. Når du regner ut integralene har du lagt til en konstant C til slutt. Denne kan i teorien være hva som helst. Om du setter den til 1.25 i det ene uttrykket og lar den være 0 i det andre ser du at grafene ligger fint oppå hverandre. Siden en funksjons antideriverte er forskjellige bare i konstanten C, som du har tatt med, har du vel egentlig ikke gjort noe direkte feil her.

[Dinithion]

Er du sikker på de er helt lik? [tex]\frac{5}{2}sin^2\, x[/tex] vil jo alltid være positiv, mens [tex]-\frac{5}{4} cos\, 2x[/tex] vil være både positiv og negativ. Dessuten så trodde jeg at når man snudde på de trigonometriske formlene så skulle de bli lik, uten faseforskyvning.

[Karl_Erik]

Er du sikker på de er helt lik? [tex]\frac{5}{2}sin^2\, x[/tex] vil jo alltid være positiv, mens [tex]-\frac{5}{4} cos\, 2x[/tex] vil være både positiv og negativ. Dessuten så trodde jeg at når man snudde på de trigonometriske formlene så skulle de bli lik, uten faseforskyvning.

Neinei. Det jeg prøvde å si, (som sikkert ble litt vel uklart) var at [tex]-\frac{5}{4} cos\, 2x[/tex] = [tex]\frac{5}{2}sin^2\, x - \frac{5}{4}[/tex], med andre ord at det er en konstant forskjell mellom dem. Tegn gjerne grafene til begge disse uttrykkene for å sjekke dette. Det jeg sier er at du i begge integrasjonsuttrykkene dine har med C. C er en konstant som kan være hva som helst. Tegner du opp grafene til begge uttrykkene du kom fram til i oppgaven ser du at den ene er 'dyttet' oppover i forhold til den andre. Prøver du å føye til en "+ (5/4)" på slutten av det andre uttrykket blir de altså helt like. Det er ikke de trigonometriske formlene som er slemme med deg her, men bare det faktum at den eneste forskjellen på alle antideriverte til en funksjon er en konstant.