Integralregning 3MX, jeg løser

[MatteNoob]

Jeg spør også om flere generelle spørsmål angående integralregning i 3MX underveis, men ikke i denne tråden. Spørsmålene finner du i MatteNoobs spørsmål ang. integrasjon 3MX.

I denne tråden kommer jeg til å gjøre oppgaver fra læreboken i 3MX fra Aschoug forlag. ISBN 82-03-32891

I tillegg er det også oppgaver fra oppgavesamlingen for 3MX, også denne fra samme forlag og med følgende ISBN-nummer:

ISBN-10: 82-03-32894-6
ISBN-13: 978-82-03-32894-7

Jeg gjør dette av to grunner:
1. For å lære selv.
2. Slik at andre kan lære av det.

Det er også noen eksamensoppgaver. Disse har jeg ikke fasit på, derfor håper jeg folk kan kommentere disse oppgavene dersom de finner feil.

Jeg kommer til å poste én oppgave per post, slik at jeg ikke mister alt dersom det feks blir strømbrudd under en løsningssesjon.

Tykk blå tekst: Angir start av løsning på deloppgaver.
Tykk rød tekst: Jeg står fast, og ønsker forklaring.
Tykk grønn tekst: Forklaringer der jeg anser det for nødvendig.
Tykk lilla tekst: Eksamensoppgaver fra 3MX

Kommentarer, spørsmål, bidrag og alternative løsningsmetoder er selvsagt hjertlig velkommen! :]

[MatteNoob]

Oppgave 4.1

a)
[tex]\int \left(3x^2 -4x +7\right)\rm{dx} = \underline{\underline{x^3 - 2x^2 + 7x + C}}[/tex]

b)
[tex]\int \left( \frac 4x \right)\rm{dx} = 4\cdot \int \frac 1x \rm{dx} = \underline{\underline{4\cdot ln|x| + C}}[/tex]

c)
[tex]\int \left( e^{2x} \right)\rm{dx} = \underline{\underline{\frac 12 e^{2x} + C}}[/tex]

d)
[tex]\int \left( \frac{x^2+1}{x}\right) \rm{dx} \Rightarrow \int \left( \frac{x^2}{x}\right) \rm{dx} + \int \left(\frac 1x \right) \rm{dx} \Rightarrow \int (x) \rm{dx} + \int \left( \frac 1x \right) = \underline{\underline{ \frac 12x^2 + ln|x| + C}}[/tex]

e)
[tex]\int \left( \frac{e^x + 3}{e^x} \right)\rm{dx} \Rightarrow \int \left( \frac{e^x}{e^x}\right) \rm{dx} + \int \left( \frac{3}{e^x}\right) \rm{dx} \Rightarrow \int (1) \rm{dx} + 3\cdot \int ( e^{-x} ) \rm{dx} = x + 3\cdot \left( (-1) \cdot \frac {1}{e^x}\right)= \underline{\underline{x - \frac{3}{e^x} + C}}[/tex]

[MatteNoob]

Vis at:

[tex]\int\left(x^2 \cdot e^x\right)\rm{dx} = \left(x^2- 2x + 2\right)e^x + C[/tex]

Takk til Jarle10 og Dinithion som forklarte meg mer om delvis integrasjon :]

[tex]\int\left(x^2 \cdot e^x\right)\rm{dx}[/tex]

[tex]u\prime = e^x \,\,\, u = e^x \\ \, \\ v\prime = 2x \,\,\, v = x^2[/tex]

[tex]\int\left(x^2 \cdot e^x\right)\rm{dx} = e^x \cdot x^2 - \int \left(2x \cdot e^x\right)\rm{dx}[/tex]

[tex]\int\left(x^2 \cdot e^x\right)\rm{dx} = e^x \cdot x^2 - \left( 2x \cdot e^x - \int \left(2e^x\right)\rm{dx} \right)[/tex]

Legg merke til at[tex] \int(2e^x)\rm{dx} = 2e^x[/tex]


[tex]\int\left(x^2 \cdot e^x\right)\rm{dx} = e^x \cdot x^2 - \left( 2x\cdot e^x - 2 \cdot e^x\right) = \underline{x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x + C}[/tex]

Vi har [tex]e^x[/tex] i alle ledd, dermed kan vi skrive:

[tex]\underline{\underline{(x^2 - 2x + 2)e^x + C }}[/tex]

[ettam]

Ser greit ut det du har gjort.

Du vet at så lenge du jobber med ubestemte integral er det bare å derivere svaret, får du det du startet med (integranden) har du regnet rett.

Siden du har lært deg delvis integrasjon, har jeg en "klassisker" til deg:

• Løs det ubestemte integralet ved regning:
  
  [tex]\int ln x dx [/tex]

Svaret skal bli: [tex]x ln x - x + C[/tex]

Jeg er kanskje litt slem med deg nå, det er et lite triks med i bildet her. Kanskje er dette integralet løst i læreboka di?

[MatteNoob]

Regn ut de bestemte integralene:

a)
[tex]\int_{1}^{4} \left( 6x^2 + 5x - 3 \right)\rm{d}x = 2x^3 + \frac 52 x^2 - 3x|_{1}^{4} = F(4) - F(1) = \\ \, \\ \left(2\cdot 4^3 + \frac 52 \cdot 4^2 - 3\cdot 4\right) - \left(2 + \frac 52 - 3\right) = \left(128 + 40 - 12\right) - \frac 32 = \underline{\underline{\frac{309}{2}}} [/tex]

b)
[tex]\int_{2}^{4} \left( \frac{1}{x-1} \right)\rm{d}x = \left[ ln|x-1| \right]_2^4 = F(4) - F(2) = \\ \, \\ \left(ln(|4-1|)\right) - \left(ln(|2-1|) \right) = ln(3) - ln(1) = ln(3) - 0 = \underline{\underline{ln(3)}} [/tex]

c)
[tex]\int_{1}^{2} \left( e^{-x} \right)\rm{d}x = -\frac{1}{e^x}|_1^2 = F(2) - F(1) = \left(-\frac{1}{e^2}\right) - \left(-\frac{1}{e^1}\right) = \frac{1}{e^1} - \frac{1}{e^2} = \underline{\underline{ \frac{e^1 - 1}{e^2}}} [/tex]

[MatteNoob]

Ser greit ut det du har gjort.

Du vet at så lenge du jobber med ubestemte integral er det bare å derivere svaret, får du det du startet med (integranden) har du regnet rett.

Siden du har lært deg delvis integrasjon, har jeg en "klassisker" til deg:

• Løs det ubestemte integralet ved regning:
  
  [tex]\int ln x dx [/tex]

Svaret skal bli: [tex]x ln x - x + C[/tex]

Jeg er kanskje litt slem med deg nå, det er et lite triks med i bildet her. Kanskje er dette integralet løst i læreboka di?

Tusen takk for det, ettam.

Jeg skjønner den, det er:

[tex]\int \left(1\cdot lnx\right) \rm{d}x = x \cdot lnx - \int (1) \rm{d}x = \underline{\underline{xlnx-x + C}} [/tex]

Som du nevner, har jeg allerede sett den, hehehe. Jeg har ikke sett den i læreboken (tror jeg), men som du sier, det er en klassiker, og det er vel derfor jeg har sett den :]

En annen klassiker som ofte kommer (ved substitusjon) er vel:

[tex]\int\left(\frac{(ln x)^2}{x}\right)\rm{d}x [/tex]

[MatteNoob]

a) Vis ved derivasjon at: [tex]\left( x^2 \cdot lnx - \frac 12 x^2 + C\right)\prime = 2x \cdot lnx[/tex]

b) Bruk resultatet i oppgave a til å finne en eksakt verdi for integralet [tex]\int_1^2 \left(2x \cdot lnx\right)\rm{d}x[/tex]

c) Finn en tilnærmet verdi for integralet i oppgave b på lommeregneren.

a)
[tex]\left( x^2 \cdot lnx - \frac 12 x^2 + C\right)\prime = \left((x^2)\prime \cdot lnx + x^2 \cdot (lnx)\prime\right) - \frac 12(x^2)\prime + (C)\prime = \\ \, \\ \left(2x\cdot lnx + x^{\cancel 2} \frac{1}{\cancel x}\right) - \frac 12 \cdot 2 x + 0 = 2x\cdot lnx +x - x = \underline{\underline{2x\cdot lnx}} [/tex]

b)
[tex]\int_1^2 \left(2x \cdot lnx\right)\rm{d}x = \left[ x^2 \cdot lnx - \frac 12 x^2\right]_1^2 = F(2) - F(1) = \left( 4\cdot ln(2) - 2\right) - \left(-\frac 12\right) = \underline{\underline{\frac{8\cdot ln(2) -3}{2}}}[/tex]

c)
Integralet gir tilnærmingsverdien: 1.272588722

[MatteNoob]

Vann strømmer inn i en tank med en fart M(t) liter/minutt, der [tex]M(t) = 70 - 70e^{-0.25t}[/tex] t er tiden i minutter fra påfyllingen startet. Finn ved regning hvor mye vann som strømmer inn de 4 første minuttene av påfyllingen.

Vi har integranden M(t), og vi vil vite hvor mye vann som renner inn i tanken fra start til det er gått fire minutter. Vi skal altså integrere over intervallet [tex]t\in[0,\, 4][/tex]

[tex]\int_0^4 \left(70-70e^{-0.25t}\right)\rm{d}t = \left[ 70t - 70 \cdot \frac{1}{-0.25} e^{-0.25t}\right]_0^4 = \left[70t + 280e^{-0.25t}\right]_0^4 = M(4) - M(0) = \\ \, \\ \, \\ \left(70\cdot 4 + 280e^{-1}\right) - \left(280\right) = 280e^{-1} \approx \underline{\underline{103\, dm^3}}[/tex]

[Janhaa]

Mr MathNoob, prøv deg på denne:

[tex]I=\int \sin(\ln(x))\,{\rm dx}[/tex]

[MatteNoob]

Mr MathNoob, prøv deg på denne:

[tex]I=\int \sin(\ln(x))\,{\rm dx}[/tex]

Din luring!!! Dette integralet er ekstremt vanskelig. Her er det kjerner og delvis integrasjon minst to ganger. Jeg er ikke istand til å ta dette integralet på nåværende tidspunkt. Jeg har holdt på med det i en time snart, hehe... :]

Jeg må nesten få lov til å komme tilbake til dette lugubre integrasjonsproblemet senere.

Ikke løs det i denne tråden er dere greie. Jeg vil gjerne ta dette selv.

[MatteNoob]

Regn ut integralene. Kontroller svarene ved å derivere.

a)
[tex]\int \left( x\cdot lnx \right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u\prime = x \,\,\, u = \frac 12x^2 \\ \, \\ v = lnx \,\,\, v\prime = \frac 1x[/tex]

[tex]\int \left( x\cdot lnx \right)\rm{d}x = \frac 12x^2 \cdot lnx - \int \left(\frac 12x^{\cancel 2} \cdot \frac{1}{\cancel x}\right)\rm{d}x = \\ \, \\ \int \left( x\cdot lnx \right)\rm{d}x = \frac 12x^2 \cdot lnx - \int \left(\frac 12x\right)\rm{d}x = \\ \, \\ \int \left( x\cdot lnx \right)\rm{d}x = \frac 12x^2 \cdot lnx - \frac 14 x^2 + C = \underline{\underline{\frac 12x^2\left(lnx - \frac 12\right) + C}} [/tex]

Deriverer:
[tex]\left(\frac 12x^2\left(lnx - \frac 12\right) + C\right)\prime = \\ \, \\ \left(\frac12 x^2\cdot lnx - \frac 14 x^2 + C\right)\prime = \\ \, \\ \left( \left(\frac 12x^2\right)\prime \cdot lnx + \frac 12x^2 \cdot (lnx)\prime\right) - (\frac 14x^2)\prime + (C)\prime = \\ \, \\ x \cdot lnx + \frac 12x - \frac 12x + 0 = \\ \, \\ \underline{\underline{x\cdot lnx}}[/tex]

b)
[tex]u\prime = x^2 \,\,\, u = \frac 13 x^3 \\ \, \\ v\prime = \frac 1x \,\,\, v = lnx[/tex]

[tex]\int \left( x^2 \cdot lnx \right)\rm{d}x = \frac 13 x^3 \cdot ln x - \int \frac 13 x^{\cancel 3} \cdot \frac{1}{\cancel x}\rm{dx} = \\ \, \\ \int \left( x^2 \cdot lnx \right)\rm{d}x = \frac 13 x^3 \cdot ln x - \int \frac 13 x^{2} \rm{dx} = \\ \, \\ \int \left( x^2 \cdot lnx \right)\rm{d}x = \frac 13 x^3 \cdot ln x - \frac 19 x^{3}= \underline{\underline{\frac 13x^3\left(ln x - \frac 13\right) + C }}[/tex]

Jeg deriverer ikke dette uttrykket, for det er veldig likt som a). Jeg ser derfor at det stemmer.

c)
[tex]u\prime = \frac{1}{x^2} \,\,\, u = -\frac{1}{x} \\ \, \\ v\prime = \frac 1x \,\,\, v = lnx[/tex]

[tex]\int \left(\frac{1}{x^2} \cdot ln x\right)\rm{d}x = -\frac 1x \cdot lnx - \int \left( -\frac 1x \cdot \frac 1x\right)\rm{dx} \\ \, \\ \int \left(\frac{1}{x^2} \cdot ln x\right)\rm{d}x = -\frac 1x \cdot lnx + \int \left( x^{-2} \right)\rm{dx} \\ \, \\ \int \left(\frac{1}{x^2} \cdot ln x\right)\rm{d}x = -\frac 1x \cdot lnx - \frac 1x = \underline{\underline{ - \frac{lnx + 1}{x} +C}} [/tex]

d)
[tex]u\prime = e^x \,\,\, u = e^x \\ \, \\ v\prime = 1 \,\,\, v = x[/tex]

[tex]\int \left(x\cdot e^x \right)\rm{d}x = x\cdot e^x - \int \left(e^x\right) \rm{dx} \\ \, \\ \int \left(x\cdot e^x \right)\rm{d}x = x\cdot e^x - e^x = \underline{\underline{(x-1)e^x + C }}[/tex]

Deriverer:
[tex]\left( (x-1)\cdot e^x\right)\prime = \\ \, \\ (x-1)\prime \cdot e^x + (x-1) \cdot (e^x)\prime = \\ \, \\ e^x + xe^x - e^x = \underline{\underline{xe^x}}[/tex]


e)
[tex]u\prime = e^x \,\,\, u = e^x \\ \, \\ v\prime = 2 \,\,\, v = (2x-1)[/tex]

[tex]\int \left((2x+1)e^x \right)\rm{d}x = (2x+1)e^x - \int (2e^x)\rm{dx} \\ \, \\ \int \left((2x+1)e^x \right)\rm{d}x = (2x+1)e^x -2e^x = 2xe^x + e^x - 2e^x = 2xe^x - e^x = \underline{\underline{(2x-1)e^x + C}} [/tex]

Deriverer:
[tex]\left((2x-1)e^x\right)\prime = \\ \, \\ \left((2x-1)\prime \cdot e^x\right) + \left((2x-1)\cdot (e^x)\prime\right) = \\ \, \\ 2e^x + 2xe^x - e^x = \\ \, \\ 2xe^x + e^x = \underline{\underline{(2x+1)e^x}} [/tex]


f)
Skriver om integralet:

[tex]\int \left(\frac{ln x}{\sqrt x} \right)\rm{d}x =\int \left(x^{-\frac 12} \cdot lnx \right)\rm{d}x [/tex]

[tex]u\prime = x^{-\frac 12} \,\,\, u = 2x^{\frac 12} \\ \, \\ v\prime = \frac 1x \,\,\, v = lnx[/tex]

[tex]\int \left(x^{-\frac 12} \cdot lnx \right)\rm{d}x = 2x^{\frac 12} \cdot lnx - \int \left(2x^{\frac 12} \cdot \frac{1}{x}\right)\rm{dx}[/tex]

Vi kan endre det "andre" integralet slik:

[tex]\frac{2x^{\frac 12}}{x} = \frac{2}{x^{\frac 12}} = \underline{2x^{-\frac 12}}[/tex]

Dermed får vi:

[tex]\int \left(x^{-\frac 12} \cdot lnx \right)\rm{d}x = 2x^{\frac 12} \cdot lnx - \int \left(2x^{-\frac 12}\right)\rm{dx} \\ \, \\ \int \left(x^{-\frac 12} \cdot lnx \right)\rm{d}x = 2x^{\frac 12} \cdot lnx - \left(2 \cdot \frac{x^{-\frac 12 + 1}}{-\frac 12 + 1} \right) = 2x^{\frac 12}\cdot lnx - 4x^{\frac 12} = 2\sqrt x \cdot lnx - 4\sqrt x +C = \\ \, \\ \underline{\underline{2\sqrt x\left(lnx - 2\right) + C }}[/tex]

Vi deriverer for å kontrollere:
[tex]\left( 2\sqrt x \left(ln x-2\right) + C\right)\prime = \\ \, \\ \left(2x^{\frac 12} \cdot lnx - 4x^{\frac 12} + C\right)\prime = \\ \, \\ \left( (2x^{\frac 12})\prime \cdot lnx + 2x^{\frac 12} \cdot (lnx)\prime \right) - (4x^{\frac 12})\prime + (C)\prime = \\ \, \\ \left( 2\cdot \frac 12 x^{-\frac 12} \cdot lnx + 2x^{\frac 12} \cdot \frac 1x\right) - 4 \cdot \frac 12 x^{-\frac 12} + 0 = \\ \, \\ \left(x^{-\frac 12} \cdot lnx + \frac{2x^{\frac 12}}{x} \right) - 2x^{-\frac 12} = \\ \, \\ \left(\frac {lnx}{x^{\frac 12}} + \frac{2}{x^{1-\frac 12}\right) - \frac{2}{x^{\frac 12}} = \\ \, \\ \frac{lnx + 2 - 2}{x^{\frac 12}} = \underline{\underline{\frac{lnx}{\sqrt x}}} [/tex]

[MatteNoob]

Regn ut integralene. Kontroller svarene på lommeregneren.

a)
[tex]\int_{1}^{e} \left( lnx \right)\rm{d}x = \int_{1}^{e} \left( 1\cdot lnx \right)\rm{d}x = x\cdot lnx - \int_1^e (\cancel x \frac{1}{\cancel x})\rm{dx} = \left[ xlnx - x\right]_1^e = F(e) - F(0) = \\ \, \\ \left(e \cdot lne - e\right) - \left(1\cdot ln1 - 1\right) = \underline{\underline{\, 1\, }} [/tex]

b)
[tex]\int_{0}^{1} \left( x\cdot e^x \right)\rm{d}x = x\cdot e^x - \int_0^1 (e^x)\rm{dx} = \left[\left(x-1\right)e^x\right]_0^1 = F(1)-F(0) = \\ \, \\ \left( (1-1)e^1\right) - \left(0-1)e^{0}\right) = 0 -(-1) = \underline{\underline{\, 1\, }}[/tex]

c)
[tex]\int_{0}^{1} \left( x^2 \cdot e^x \right)\rm{d}x = x^2 \cdot e^x - \int_0^1 (2xe^x)\rm{dx} \\ \, \\ \int_{0}^{1} \left( x^2 \cdot e^x \right)\rm{d}x = x^2 \cdot e^x - \left( 2xe^x -\int_0^1 (2e^x)\rm{dx}\right) = \left[ \left(x^2 - 2x + 2\right)e^x \right]_0^1 = F(1) - F(0) = \\ \, \\ \left( e^1 \cancel{ - 2e^1 + 2e^1}\right) - \left(2e^0\right) = \underline{\underline{e - 2}}[/tex]

[espen180]

Her er et du burde få til nå:

[tex]\int 2x^3sin(x^2)\rm{d}x[/tex]

[Dinithion]

Mr MathNoob, prøv deg på denne:

[tex]I=\int \sin(\ln(x))\,{\rm dx}[/tex]

Dæven. Den var ganske artig. Jeg måtte tenke meg om litt for å ta den. Ett par slurvefeil gjorde ikke fortvilelsen mindre heller, men den satt til slutt

[Janhaa]

Mr MathNoob, prøv deg på denne:
[tex]I=\int \sin(\ln(x))\,{\rm dx}[/tex]

Dæven. Den var ganske artig. Jeg måtte tenke meg om litt for å ta den. Ett par slurvefeil gjorde ikke fortvilelsen mindre heller, men den satt til slutt

bra dere liker litt integrasjonskos. Mer der d kommer fra...