Likning.

[Wentworth]

Løs likningen;

[tex]2\sqrt3sin \pi x -2 \pi x=2 \; \in[0,2][/tex]

Løsning:
Skriver på denne måten;
[tex]4sin(\pi x - \frac{\pi}{6})=2[/tex]


Ene x verdien ;
[tex]x=\frac{1}{3} [/tex]

Den andre x verdien klarer jeg ikke å finne,skjønner ikke hvordan jeg skal finne den andre x verdien?

Takker på forhånd!

[Magnus]

Scofield.. Dette her har du da vel gjort mange ganger før? Løse en sinuslikning og finne de to likningssettene. Prøv igjen er du snill, og jeg kan garantere at læreboka har et eksempel på akkurat dette.

[Magnus]

For det første skjønner jeg ikke hvordan du gjør disse likningsomformingene dine. Men jeg kan løse [tex]4\sin(\pi\cdot x - \frac{\pi}{6}) = 2[/tex]. Jeg velger å sette [tex]y = \pi\cdot x - \frac{\pi}{6}[/tex]. Vi står altså igjen med:

[tex]\sin{y} = \frac{1}{2}[/tex]

Vi tar sinus invers på begge sider og finner

[tex]y = \frac{\pi}{6}[/tex]

Men som vi ser fra enhetssirkelen er også [tex]\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}[/tex] en løsning av likningen. Dermed følger det at

[tex]y_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot k[/tex]
[tex]y_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \cdot k[/tex]

for heltall [tex]k[/tex].

Så kan vi substiuere inn for y og få

[tex]y_1 = \pi\cdot x_1 - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot k \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3} + 2\cdot k[/tex]

og ditto med [tex]y_2[/tex]

Hadde selvsagt ikke trengt å gjøre den y-substitusjonen, og notasjonen
er litt på kanten, men poenget er vel at du skal _FORSTÅ_.

edit: ser du fjernet innlegget ditt?

[Wentworth]

Det ser ut som om begge hele tall k er lik 0.Hvorfor er begge 0 ?

Edit:Innlegget mitt var riktig ettersom jeg visste fasitsvaret,men jeg hoppet over noen regler,derfor fjernet jeg den.

[Magnus]

..?

[Wentworth]

[tex]y_1 = \pi\cdot x_1 - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi \cdot k \Rightarrow x_1 = \frac{1}{3} + 2\cdot k[/tex]

For den første x:
[tex]\frac{1}{6}\frac{1}{6}+2 \pi \cdot k=\frac{1}{3} + 2 \cdot 0=\frac{1}{3}[/tex]

For den andre x:
[tex]\frac{5}{6}+ \frac{1}{6}+2 \cdot k=1+2\cdot 0=1[/tex]

Begge k er lik null?Hvorfor?

[zell]

Hva er det du snakker om? k er et vilkårlig heltall du bruker for å plassere svarene dine innenfor definisjonsområdet. Grunnen til at det er lovlig er fordi sinus, cosinus og tangens er periodiske funksjoner. Dvs.

[tex]sin{\pi} = \sin{2\pi} = \sin{4\pi} = \sin{6\pi} = \sin{8\pi} = \sin{2k\pi}[/tex]

[Wentworth]

Hvis definisjonsmengden var [tex][0,2\pi][/tex] for denne oppgaven, da hadde i den andre x verdien k vært lik 1 ?

[ettam]

Løs likningen;

[tex]2\sqrt3sin \pi x -2 \pi x=2 \; \in[0,2][/tex]

Mente du ikke å skrive:

[tex]2\sqrt3 sin \pi x -2 cos \pi x=2 \; \in[0,2][/tex]


For da er dette også riktig:

Løsning:
Skriver på denne måten;
[tex]4sin(\pi x - \frac{\pi}{6})=2[/tex]

[Wentworth]

Ja.

Og jeg har lært at hvis definisjonsmengden er[tex][0,2\pi][/tex], så skal [tex]n\cdot 2\pi[/tex] tas med i begge likningsettene for x verdiene,der i den første x verdien er heltallet n lik 0 og i den andre x verdien der heltallet n er lik 1,hvilken rekkefølge dette skal være er bestemt etter om man får negativ[tex]sin^{-1}[/tex] verdi eller positiv.

Definisjonsmengder [tex][0,2,3,4,6,.......\pi],[/tex] har også [tex]n\cdot 2\pi[/tex] i begge x-verdiene med da er heltallet aldri lik 1. Den er lik 0.

[zell]

DET ER INGEN REGLER SOM GJELDER HER.

SINUS ER ALLTID, _ALLTID_, _ALLTID_ PERIODISK OM N*2*PI.

Hva definisjonsmengden er er irrelevant! Selvfølgelig skal n2pi tas med i alle, ALLE, _ALLE_ likningssett, uansett hvilke verdier x skal ligge innenfor.

[ettam]

Jeg skal regne hele oppgaven for deg, Wentworth (Scofield). Så kan du se på den...

• Løs likningen:
  
  [tex]2\sqrt3 sin \pi x -2 cos \pi x=2 \; , \; x \in[0,2][/tex]

Skriver om på denne måten:

[tex]4sin(\pi x - \frac{\pi}{6})=2[/tex]

[tex]sin(\pi x - \frac{\pi}{6})=\frac12[/tex]

Se på enhetssirkelen så får du:

[tex] \pi x - \frac{\pi}{6}= \frac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi \;[/tex] eller [tex]\; \pi x - \frac{\pi}{6}= \pi -\frac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi[/tex]

Nå må vi løse hver av disse likningene for x:

[tex] \pi x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}+ n \cdot 2\pi \;[/tex] eller [tex]\; \pi x - \frac{\pi}{6}= \pi -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + n \cdot 2\pi[/tex]

Trekker sammen:

[tex] \pi x = \frac{\pi}{3}+ n \cdot 2\pi \;[/tex] eller [tex]\; \pi x = \pi + n \cdot 2\pi[/tex]

Dividerer (forkorter) så med [tex]\pi[/tex]:

[tex] x = \frac{1}{3}+ n \cdot 2 \;[/tex] eller [tex]\; x = 1 + n \cdot 2[/tex]

Nå er jo [tex]x \in[0,2][/tex], derfor får vi bare to løsninger:

[tex]\underline{\underline{x = \frac{1}{3}}} \;[/tex] eller [tex]\; \underline{\underline{x = 1}} [/tex]

[Wentworth]

Ja visst!

[zell]

Ta lærdom for en gangs skyld nå da scofield!

[Wentworth]

Hele veien!

Thx