En stang med lengde L ligger ligger på et rør som har et sirkelformet tverrsnitt med radius r, se fig. over. Kontaktpunktet mellom stanga og bakken har avstanden d fra kontaktpunktet mellom røret og bakken. Det andre endepunktet på stanga har høyden h over bakken. Finn h uttrykt ved L, r og d.
Stang, rør og trigonometri
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
En stang med lengde L ligger ligger på et rør som har et sirkelformet tverrsnitt med radius r, se fig. over. Kontaktpunktet mellom stanga og bakken har avstanden d fra kontaktpunktet mellom røret og bakken. Det andre endepunktet på stanga har høyden h over bakken. Finn h uttrykt ved L, r og d.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Fin oppgave 
Begynner med å finne vinkelen dannet ved møtepunktet mellom stangen og bakken, kaller vinkelen theta:
[tex]tan\theta=\frac{2r}{d}[/tex] [tex]\rightarrow [/tex][tex]\theta=arctan(\frac{2r}{d})[/tex]
Deretter lager man et uttrykk for h av det man vet om vinkelen:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{2r}{d}))[/tex]
Begynner med å finne vinkelen dannet ved møtepunktet mellom stangen og bakken, kaller vinkelen theta:
[tex]tan\theta=\frac{2r}{d}[/tex] [tex]\rightarrow [/tex][tex]\theta=arctan(\frac{2r}{d})[/tex]
Deretter lager man et uttrykk for h av det man vet om vinkelen:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{2r}{d}))[/tex]
Bra forsøk, men oppgava er nok ikke så enkel!bartleif wrote:Fin oppgave
Begynner med å finne vinkelen dannet ved møtepunktet mellom stangen og bakken, kaller vinkelen theta:
[tex]tan\theta=\frac{2r}{d}[/tex] [tex]\rightarrow [/tex][tex]\theta=arctan(\frac{2r}{d})[/tex]
Deretter lager man et uttrykk for h av det man vet om vinkelen:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{2r}{d}))[/tex]
Jeg er litt ustø på hånda, derfor er tegninga mi er ikke helt bra, etter noen solrike og fuktige dager...
Kanskje litt vanskelig å se at den vertikale avstanden mellom bakken og stanga er [symbol:ikke_lik] 2r. Ser du det? Avstanden du sikter til er 2r + x (der x er liten).
Slik at svaret ditt blir 4-5 % for lite...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Hmm, jeg tror kanskje du misforstår svaret mitt.
I første delen brukte jeg forholdet mellom d og diameteren til sirkelen for å finne vinkelen. Deretter brukte jeg vinkelen for å finne høyden i den trekanten som ikke har 2r som høyde. Skjønner?
En får her at: [tex]L>\frac{2r}{sin\theta}[/tex] hvis ikke er ikke h større enn 2r.
Skal være rett, finner også ved innsetting av tall at h blir større enn 2r hvis jeg velger en L verdi større enn hypotenusen i trekanten mellom diameteren og vinkelen.
Setter jeg at L= 7, r=2,d=5.
Så får jeg [tex]h=7sin(arctan(\frac{4}{5}))=4.37[/tex]
I første delen brukte jeg forholdet mellom d og diameteren til sirkelen for å finne vinkelen. Deretter brukte jeg vinkelen for å finne høyden i den trekanten som ikke har 2r som høyde. Skjønner?
En får her at: [tex]L>\frac{2r}{sin\theta}[/tex] hvis ikke er ikke h større enn 2r.
Skal være rett, finner også ved innsetting av tall at h blir større enn 2r hvis jeg velger en L verdi større enn hypotenusen i trekanten mellom diameteren og vinkelen.
Setter jeg at L= 7, r=2,d=5.
Så får jeg [tex]h=7sin(arctan(\frac{4}{5}))=4.37[/tex]
Sorry bartleif, stemmer ikke. Nå har jeg forstørra høyre side i opprinnelig bilde. Se figuren under.
http://bildr.no/view/223368
Da sees at:
[tex]\tan(\theta)=\frac{2r+x}{d}[/tex]
og
[tex]h=L\,\cdot \sin(\arctan(\frac{2r+x}{d}))[/tex]
du mister rett og slett den lille x'en...forstår du nå...?
Altså, motstående katet i trekanten du definerer er litt for kort!
Hva er x?
http://bildr.no/view/223368
Da sees at:
[tex]\tan(\theta)=\frac{2r+x}{d}[/tex]
og
[tex]h=L\,\cdot \sin(\arctan(\frac{2r+x}{d}))[/tex]
du mister rett og slett den lille x'en...forstår du nå...?
Altså, motstående katet i trekanten du definerer er litt for kort!
Hva er x?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Ser det nå ja
Hmm, burde egentlig skjønt at den stangen ikke kom til å treffe diameteren. Da er ikke denne like enkel nei Kan prøve, men denne gangen blir det sikkert ikke noe løsning fra meg
Here goes:
[tex]\theta=arctan(\frac{2r+x}{d})[/tex] men har nå også at [tex]x=L\theta -r[/tex]
Setter dette inn i formelen for h:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{2r+(L\theta -r)}{d}))[/tex]
Er litt usikker nå, men tror dette skal være rett
Edit: Sluttet å tro det, litt "ulovligheter" på gang for å finne x
Hmm, burde egentlig skjønt at den stangen ikke kom til å treffe diameteren. Da er ikke denne like enkel nei
Kan prøve, men denne gangen blir det sikkert ikke noe løsning fra meg Here goes:
[tex]\theta=arctan(\frac{2r+x}{d})[/tex] men har nå også at [tex]x=L\theta -r[/tex]
Setter dette inn i formelen for h:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{2r+(L\theta -r)}{d}))[/tex]
Er litt usikker nå, men tror dette skal være rett
Edit: Sluttet å tro det, litt "ulovligheter" på gang for å finne x
Last edited by bartleif on 06/07-2008 19:58, edited 2 times in total.
Kan jeg anta at hvis jeg trekker en vannrett linje (parallell med bakken) fra sentrum i sirkelen til der den treffer L, og den deler trekanten med 2r+x som m.k på 2, er da lengden av den linjen d/2? Virker logiskt for meg, men kan fortsatt være feil.
Jeg har hvertfall kommet fram til:
[tex]x=\frac{dtan\theta}{2}-r[/tex]
Og får:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{r+(\frac{dtan\theta}{2})}{d}))[/tex]
Jeg har hvertfall kommet fram til:
[tex]x=\frac{dtan\theta}{2}-r[/tex]
Og får:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{r+(\frac{dtan\theta}{2})}{d}))[/tex]
Ganske utfordrende trigonometrinøtt...bartleif wrote:Kan jeg anta at hvis jeg trekker en vannrett linje (parallell med bakken) fra sentrum i sirkelen til der den treffer L, og den deler trekanten med 2r+x som m.k på 2, er da lengden av den linjen d/2? Virker logiskt for meg, men kan fortsatt være feil.
Jeg har hvertfall kommet fram til:
[tex]x=\frac{dtan\theta}{2}-r[/tex]
Og får:
[tex]h=Lsin(arctan(\frac{r+(\frac{dtan\theta}{2})}{d}))[/tex]
Nå har jeg ikke gått alle innlegga i sømmene. Bare satt inn passende verdier iforhold til fasiten (har bare svaret) og mitt løsningsforslag.
Forslaget ditt er ikke helt i samsvar med det riktige ennå. Men det nærmer seg bartleif...
Jeg prøver å omforme de ulike forslaga deres med det riktige, og sammenlikne.
Veit ikke om det hjelper særlig, men h = h(L, r, d) og inneholder ikke vinkler (sjøl om de er konstanter).
Sjøl løste jeg oppgava med en anna approach.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Hint til vinkelløsning: Finn to identiske trekanter og bruk [tex]\sin(2t)=\frac{\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex].
Her kommer et løsningsforslag til oppgava. Er ganske sikker på at hintet til mrcreosote også fører fram. Trur forøvrig relasjonen
[tex]\tan(2t)=\frac{2\tan(t)}{1-\tan^2(t)}[/tex]
funker. Har ikke prøvd disse!
-------------------------------------------------------
Finner først y vha pytagoras i store trekant (A), altså: L[sup]2[/sup] = (y + d)[sup]2[/sup] + h[sup]2[/sup]
[tex]y = \sqrt{L^2\,-\,h^2}\,-\,d[/tex]
Vel, deler den store trekanten (med areal A) i tre mindre trekanter (hhv A_1, A_2 og A_3) som vist på bildet under:
http://bildr.no/view/224152
Dvs:
[tex]A\,=\,A_1\,+\,A_2\,+\,A_3[/tex]
[tex]\frac{(y+d)h}{2}\,=\,\frac{(y+d)r}{2}\,+\,\frac{L\cdot r}{2}\,+\,\frac{h\cdot y}{2}[/tex]
dette gir
[tex]yr\,+\,dr\,+\,Lr\,=\,dh[/tex]
[tex]h\,=\,\frac{r(y\,+\,d\,+\,L)}{d}\,=\,\frac{r(\sqrt{L^2-h^2}\,+\,L)}{d}[/tex]
rydder, ordner og kvadrerer begge sider:
[tex](hd\,-\,rL)^2\,=\,r^2(L^2\,-\,h^2)[/tex]
[tex]h^2d^2\,-\,2hdrL\,+\,r^2L^2\,=\,r^2L^2\,-\,r^2h^2[/tex]
[tex]h(d^2+r^2)\,=\,2rdL[/tex]
[tex]h\,=\,\frac{2rdL}{d^2+r^2}[/tex]
[tex]\tan(2t)=\frac{2\tan(t)}{1-\tan^2(t)}[/tex]
funker. Har ikke prøvd disse!
-------------------------------------------------------
Finner først y vha pytagoras i store trekant (A), altså: L[sup]2[/sup] = (y + d)[sup]2[/sup] + h[sup]2[/sup]
[tex]y = \sqrt{L^2\,-\,h^2}\,-\,d[/tex]
Vel, deler den store trekanten (med areal A) i tre mindre trekanter (hhv A_1, A_2 og A_3) som vist på bildet under:
http://bildr.no/view/224152
Dvs:
[tex]A\,=\,A_1\,+\,A_2\,+\,A_3[/tex]
[tex]\frac{(y+d)h}{2}\,=\,\frac{(y+d)r}{2}\,+\,\frac{L\cdot r}{2}\,+\,\frac{h\cdot y}{2}[/tex]
dette gir
[tex]yr\,+\,dr\,+\,Lr\,=\,dh[/tex]
[tex]h\,=\,\frac{r(y\,+\,d\,+\,L)}{d}\,=\,\frac{r(\sqrt{L^2-h^2}\,+\,L)}{d}[/tex]
rydder, ordner og kvadrerer begge sider:
[tex](hd\,-\,rL)^2\,=\,r^2(L^2\,-\,h^2)[/tex]
[tex]h^2d^2\,-\,2hdrL\,+\,r^2L^2\,=\,r^2L^2\,-\,r^2h^2[/tex]
[tex]h(d^2+r^2)\,=\,2rdL[/tex]
[tex]h\,=\,\frac{2rdL}{d^2+r^2}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Trekk ei hjelpelinje fra sentrum av røret (A) til møtepunktet mellom røret og stanga (B) og ei fra A til møtepunktet mellom røret og bakken (C). La røret berøre bakken i D. Da er B speilinga av D om AC, så trekantene ADC og ABC er like. Hvis vinkel DCA kalles t, har vi nå at [tex]\tan(t)=\frac rd[/tex] og [tex]\sin(2t)=\frac hL[/tex].
Brukes nå [tex]\sin(2t)=\frac{\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex] får man samme resultat som Janhaa.
Brukes nå [tex]\sin(2t)=\frac{\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex] får man samme resultat som Janhaa.
Ja, enig mrcreosote - hvis du korrigerer din trigonometriske relasjon til;mrcreosote wrote:Trekk ei hjelpelinje fra sentrum av røret (A) til møtepunktet mellom røret og stanga (B) og ei fra A til møtepunktet mellom røret og bakken (C). La røret berøre bakken i D. Da er B speilinga av D om AC, så trekantene ADC og ABC er like. Hvis vinkel DCA kalles t, har vi nå at [tex]\tan(t)=\frac rd[/tex] og [tex]\sin(2t)=\frac hL[/tex].
Brukes nå [tex]\sin(2t)=\frac{\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex] får man samme resultat som Janhaa.
[tex]\sin(2t)\,=\,\frac{2\tan(t)}{1+\tan^2(t)}[/tex]
(var nemlig ett lite 2-tall som plaga meg...
).La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]