Jeg prøver å finne den deriverte av:
[tex]\frac{1}{2}(x {\sqrt {x^2 +1}}+ ln |x+ \sqrt {x^2+1|})[/tex]
Skal jeg bruke kvotientregelen?
Derivasjon
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Ops,ingen kvotient,jeg trodde bare at det to tallet i nevneren gikk under det i parentes,men det gjør den ikke.Burde jeg begynne og derivere ledd for ledd slik da:
[tex](x)`=1[/tex]
[tex](\sqrt{x^2 +1})`=\frac{1}{2\sqrt{x^2 +1}[/tex]
[tex](ln|x+\sqrt{x^2 +1}|)`=\frac{1}{x+ \sqrt{x^2 +1}}[/tex]
Eller roter jeg fælt nå?
[tex](x)`=1[/tex]
[tex](\sqrt{x^2 +1})`=\frac{1}{2\sqrt{x^2 +1}[/tex]
[tex](ln|x+\sqrt{x^2 +1}|)`=\frac{1}{x+ \sqrt{x^2 +1}}[/tex]
Eller roter jeg fælt nå?
Okey,jeg prøver det første her:
[tex](x\sqrt{x^2+1})`=x` \cdot \sqrt{x^2+1} + (\sqrt{x^2+1})` \cdot x=[/tex]
[tex]1 \cdot \sqrt{x^2 +1}+ {\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)` \cdot x=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
[tex]x^2[/tex] ?
[tex](x\sqrt{x^2+1})`=x` \cdot \sqrt{x^2+1} + (\sqrt{x^2+1})` \cdot x=[/tex]
[tex]1 \cdot \sqrt{x^2 +1}+ {\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)` \cdot x=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
[tex]x^2[/tex] ?
Last edited by Wentworth on 17/07-2008 17:15, edited 7 times in total.
Riktig fram til hit, forkort den siste brøken før du går videre.Wentworth wrote:
[tex](x\sqrt{x^2+1})`=x` \cdot \sqrt{x^2+1} + (\sqrt{x^2+1})` \cdot x=[/tex]
[tex]1 \cdot \sqrt{x^2 +1}+ {\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)` \cdot x=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
Okey,da prøver jeg på nytt;
[tex](x\sqrt{x^2+1})`=x` \cdot \sqrt{x^2+1} + (\sqrt{x^2+1})` \cdot x=[/tex]
[tex]1 \cdot \sqrt{x^2 +1}+ {\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)` \cdot x=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1}+ \frac{x^2}{\sqrt{x^2 +1}}=[/tex]
[tex]\frac{x^2 +1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}=[/tex]
[tex]\frac{2x^2 +1}{\sqrt{ x^2+1}}[/tex]
Videre deriverer jeg det andre ved bruk av kjerneregelen og får;
[tex](ln|x\sqrt{x^2+1}|)`=\frac{1}{2sqrt{x^2+1}} \cdot (x \sqrt {x^2+1})`=[/tex]
[tex]\frac{1}{2sqrt{x^2+1}} \cdot \; \frac{2x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}=[/tex]
[tex]\frac{\frac{2x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}}{2sqrt{x^2+1}}[/tex]
[tex]x^2+1[/tex] ??
Hva somler jeg med nå da?
[tex](x\sqrt{x^2+1})`=x` \cdot \sqrt{x^2+1} + (\sqrt{x^2+1})` \cdot x=[/tex]
[tex]1 \cdot \sqrt{x^2 +1}+ {\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)` \cdot x=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1}+ \frac{x^2}{\sqrt{x^2 +1}}=[/tex]
[tex]\frac{x^2 +1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}=[/tex]
[tex]\frac{2x^2 +1}{\sqrt{ x^2+1}}[/tex]
Videre deriverer jeg det andre ved bruk av kjerneregelen og får;
[tex](ln|x\sqrt{x^2+1}|)`=\frac{1}{2sqrt{x^2+1}} \cdot (x \sqrt {x^2+1})`=[/tex]
[tex]\frac{1}{2sqrt{x^2+1}} \cdot \; \frac{2x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}=[/tex]
[tex]\frac{\frac{2x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}}{2sqrt{x^2+1}}[/tex]
[tex]x^2+1[/tex] ??
Hva somler jeg med nå da?
Last edited by Wentworth on 17/07-2008 22:29, edited 8 times in total.
Riktig til hit 
Nå kan du forkorte med 2 i det siste svaret...
EDIT: Obs... sjekk det siste du deriverer. Det er ikke det samme som oppgaven.
EDIT: Jeg leste igjennom tråden i dag (20/7). Nå er det silk at det "ikke er riktig til hit" noe lenger. Wentworth har en lei tendens til å endre på tidligere innlegg her inne! For svarte h?=/%&%!. Blir litt provosert fordi mye av poenget for andre å lese og lære av hele tråden ødelegges!
Beklager til dere andre her inne!
Nå kan du forkorte med 2 i det siste svaret...
EDIT: Obs... sjekk det siste du deriverer. Det er ikke det samme som oppgaven.
EDIT: Jeg leste igjennom tråden i dag (20/7). Nå er det silk at det "ikke er riktig til hit" noe lenger. Wentworth har en lei tendens til å endre på tidligere innlegg her inne! For svarte h?=/%&%!. Blir litt provosert fordi mye av poenget for andre å lese og lære av hele tråden ødelegges!
Beklager til dere andre her inne!
Last edited by ettam on 20/07-2008 18:39, edited 2 times in total.
Da har jeg altså fått dette;
[tex](x\sqrt{x^2+1})`=x` \cdot \sqrt{x^2+1} + (\sqrt{x^2+1})` \cdot x=[/tex]
[tex]1 \cdot \sqrt{x^2 +1}+ {\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)` \cdot x=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1}+ \frac{x^2}{\sqrt{x^2 +1}}=[/tex]
[tex]\frac{x^2 +1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}=[/tex]
Første;
[tex]\frac{2x^2 +1}{\sqrt{ x^2+1}}[/tex]
Videre deriverer jeg det andre ved bruk av kjerneregelen og får;
[tex](ln|x\sqrt{x^2+1}|)`=\frac{1}{2sqrt{x^2+1}} \cdot (x \sqrt {x^2+1})`=[/tex]
[tex]\frac{1}{2sqrt{x^2+1}} \cdot \; \frac{2x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}=[/tex]Det andre leddet her har forekommet ved bruk av produktregelen.
[tex]\frac{\frac{2x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}}{2sqrt{x^2+1}}=[/tex]
Andre;
[tex]x^2+1[/tex]
Så plusser jeg svarene jeg har fått første og andre ;
[tex]{\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}} + x^2+1[/tex]
Går jeg i riktig retning da ?
[tex](x\sqrt{x^2+1})`=x` \cdot \sqrt{x^2+1} + (\sqrt{x^2+1})` \cdot x=[/tex]
[tex]1 \cdot \sqrt{x^2 +1}+ {\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)` \cdot x=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} + \frac{2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}=[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1}+ \frac{x^2}{\sqrt{x^2 +1}}=[/tex]
[tex]\frac{x^2 +1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}=[/tex]
Første;
[tex]\frac{2x^2 +1}{\sqrt{ x^2+1}}[/tex]
Videre deriverer jeg det andre ved bruk av kjerneregelen og får;
[tex](ln|x\sqrt{x^2+1}|)`=\frac{1}{2sqrt{x^2+1}} \cdot (x \sqrt {x^2+1})`=[/tex]
[tex]\frac{1}{2sqrt{x^2+1}} \cdot \; \frac{2x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}=[/tex]Det andre leddet her har forekommet ved bruk av produktregelen.
[tex]\frac{\frac{2x^2+1}{\sqrt {x^2+1}}}{2sqrt{x^2+1}}=[/tex]
Andre;
[tex]x^2+1[/tex]
Så plusser jeg svarene jeg har fått første og andre ;
[tex]{\frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}} + x^2+1[/tex]
Går jeg i riktig retning da ?
Se på det andre leddet:Wentworth wrote:Jeg prøver å finne den deriverte av:
[tex]\frac{1}{2}(x {\sqrt {x^2 +1}}+ ln |x+ \sqrt {x^2+1|})[/tex]
Skal jeg bruke kvotientregelen?
[tex]ln |x+ \sqrt {x^2+1|[/tex]
Det er ikke det som det du driver å deriverer. Du deriverer:
[tex]ln |x \cdot \sqrt {x^2+1|[/tex]
Ser du forskjellen?
Er ikke:
[tex]\left(\ln\left| x+\sqrt{x^2+1}\right| \right)\prime = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Jeg tenkte i alle fall at:
Setter kjerne for ln(......)
[tex]u = x+\sqrt{x^2+1}[/tex]
Her har vi jo egentlig summen av to "funksjoner", dermed er også den deriverte av førsteleddet addert med andreleddet (der vi nytter kjerneregelen) slik:
[tex]u\prime = (x)\prime + \left(\sqrt{x^2 + 1}\right)\prime \cdot (x^2+1)\prime \\ \, \\ u\prime = 1 + \frac{\cancel 2x}{\cancel 2\sqrt{x^2 +1}} = \underline{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}[/tex]
Deriverer
[tex](\ln u)\prime = \frac 1u \cdot u\prime = \frac{u\prime}{u}[/tex]
Og u' vet vi jo allerede hva er, det samme gjelder for u. Vi setter tilbake for u og u'
[tex]\left(\ln\left| x+\sqrt{x^2+1}\right| \right)\prime = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}[/tex]
[tex]\left(\ln\left| x+\sqrt{x^2+1}\right| \right)\prime = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Jeg tenkte i alle fall at:
Setter kjerne for ln(......)
[tex]u = x+\sqrt{x^2+1}[/tex]
Her har vi jo egentlig summen av to "funksjoner", dermed er også den deriverte av førsteleddet addert med andreleddet (der vi nytter kjerneregelen) slik:
[tex]u\prime = (x)\prime + \left(\sqrt{x^2 + 1}\right)\prime \cdot (x^2+1)\prime \\ \, \\ u\prime = 1 + \frac{\cancel 2x}{\cancel 2\sqrt{x^2 +1}} = \underline{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}[/tex]
Deriverer
[tex](\ln u)\prime = \frac 1u \cdot u\prime = \frac{u\prime}{u}[/tex]
Og u' vet vi jo allerede hva er, det samme gjelder for u. Vi setter tilbake for u og u'
[tex]\left(\ln\left| x+\sqrt{x^2+1}\right| \right)\prime = \frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}[/tex]
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
Ser riktig ut det der. Men er du sikker på at du har skrevet av oppgaven riktig til å begynne med? Det så litt stygt ut det uttrykket. Men det er mulig at svaret til slutt blir mindre stygt...
Last edited by ettam on 18/07-2008 10:28, edited 1 time in total.