Sirkelframstilling, vis at...

[FredrikM]

En kurve er gitt ved parameterframstillingen
[tex]x=5sin(3t) \\ y=5cos(3t)[/tex]
a) Forklar ved å bruke [tex](sin v)^2+(cos v)^2=1[/tex] at dette blir en sirkel

Spekulerer litt på løsningen av denne.

Jeg tenker man kan vise at lengden alltid er fem:
[tex]\vec{OP}=[5sin(3t),5cos(3t)] \\ | \vec{OP} | = \sqrt {5^2(sin^2(3t)+cos^2(3t))}=5[/tex]

Men dette er vel ikke nok? Selv om en sirkel er den eneste todimensjonale figuren hvor radiusen er lik uansett hvor, så føler jeg ikke at jeg viser at dette må være en sirkel. I så fall ville jo forklaringen min også virket på [tex]\vec{TEITVEKTOR} = [5,0][/tex]

Noen hint?

[Emilga]

EDIT: Ignorer dustesvaret mitt.

[MatteNoob]

Fin oppgave! (Hvor har du den fra?)

Jeg vil tro løsningen din holder vann? - Slik hadde jeg formulert dette:

Likningen for en sirkel med sentrum i origo:
[tex]x^2 + y^2 = r^2[/tex]

Parameterfremstillingen:
[tex]x = 5\sin(3t) \\ \, \\ y = 5\cos(3t)[/tex]

[tex]5^2\sin^2(3t) + 5^2\cos^2(3t) = r^2 \\ \, \\ r = \sqrt{5^2 \cdot \left(\sin^2(3v) + \cos^2(3v)\right)} \\ \, \\ r=\sqrt{5^2} = 5[/tex]

Av dette har vi at for enhver verdi av [tex]t[/tex], vil [tex]P(x_t,\, y_t)[/tex] ligge 5 fra Origo i alle retninger.

Er dette tilfredstillende synes dere?

[FredrikM]

Har den fra matematikkboken min. "Formel og fakta; matematikk 3MX".

Ser for meg ut som du kom med samme løsning som meg?

Av dette har vi at for enhver verdi av , vil ligge 5 fra Origo i alle retninger.

Det er akkurat denne biten av beviset jeg er usikker på. Hvordan er vi sikker på at denne parameterframstillingen faktisk skifter retning? (kan jo skjønne det intuitivt, men å vise det?)

PS: Ser man på enhetssirkelen skjønner man at man kan bruke parameterframstillingen
[tex]x=cos t \\ y=sin t[/tex] for sirkler. Her er det bare motsatt.

[MatteNoob]

Jo, jeg kom frem til det samme som deg, men jeg formulerte det på en annen måte.

Jeg kjente også at det stakk litt i magen da jeg konkluderte med påstanden du siterer, men vi vet jo at for:

[tex]\sin u \text{ er positiv for } u\in [0,\, \pi \rangle \\ \, \\ \cos u \text{ er positiv for } u\in [0,\, \frac \pi 2 \rangle \, \cup \, [\frac{3\pi}{2},\, 2\pi\rangle[/tex]

EDIT:
Og selvfølgelig negativ for de intervallene som ikke er nevnt men inngår i [tex]u\in[0,\, 2\pi\rangle[/tex]

[Emilga]

Det er akkurat denne biten av beviset jeg er usikker på. Hvordan er vi sikker på at denne parameterframstillingen faktisk skifter retning? (kan jo skjønne det intuitivt, men å vise det?)

De trigonometriske funksjonene er periodiske, hvis det er det du mener?

Hvis dette kan hjelpe noe:
Du ser at et hvert punkt fra origo til enhetssirkelen har posisjonsvektoren [tex]\vec{OP} = [\cos(v),\,\sin(v)][/tex]

[tex]|\vec{OP}| = \sqrt{(\cos(v))^2 + (\sin(v))^2} = 1[/tex]


Hvis du femdobler denne vektoren: [tex]\vec{OP} = 5 \cdot[\cos(v),\,\sin(v)] = [5\cos(v),\,5\sin(v)][/tex]

[tex]|\vec{OP}| = \sqrt{(5\cos(v))^2 + (5\sin(v))^2} = \sqrt{5^2(\cos(v))^2 + \sin(v))^2)} = \sqrt{5^2 \cdot 1} = 5[/tex]

[MatteNoob]

Det synes jeg var en god forklaring emomilol :]

[daofeishi]

Du vet allerede at en sirkel med sentrum i origo kan skrives som [tex]x^2 + y^2 = r^2[/tex]

Hva skjer hvis du nå tar [tex]x^2 + y^2 = (5 \sin 3t)^2 + (5 \cos 3t)^2 [/tex]?