Cosinussetningen

[espen180]

Vi bruker en vilkårlig trekant ABC. Vi feller en normal fra C på linjen c med fotpunktet D, slik at trekanten deles opp i linjene a, b, c, d, e og f, slik tegningen under viser. Vi markerer også vinkelen $\alpha$.



Vi tar utgangspunkt i pythagorassetningen:

$a^2=d^2+f^2$

Vi skal uttrykke dette ved a, b, c og $\alpha$.

$$\begin{gathered} c=e+f \\ f=c-e \\ e=b\cdot cos\alpha \\ f=c-b\cdot cos\alpha \\ {f}^2=c^2-2b\cdot c\cdot cos\alpha +b^{2}co{s}^2\alpha \end{gathered}$$

Vi definerer d ved å bruke pythagorassetningen.

$$\begin{gathered} d^2=b^2-e^2 \\ {d}^2=b^2-b^{2}co{s}^2\alpha \end{gathered}$$

Vi setter dette inn i det opprinnelige uttrykket.

$$\begin{gathered} a^2=d^2+f^2 \\ {a}^2=b^2-b^{2}co{s}^2\alpha +c^2-2b\cdot c\cdot cos\alpha +b^{2}co{s}^2\alpha \\ {a}^2=b^2-\cancel{b^{2}co{s}^2\alpha }+c^2-2b\cdot c\cdot cos\alpha +\cancel{b^{2}co{s}^2\alpha } \\ {a}^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot cos\alpha \end{gathered}$$

Q.E.D.

[Bogfjellmo]

Korrekt, men dette beviset holder bare for $\alpha <{90}^{\text{textdegree}}$. Tar du de to andre tilfellene også?

[espen180]

Joda, her er et bevis til. Jeg vet at dette gjelder for vinkler 90-180. Gjelder det for 0-90 også?

En trekant med linjene a, b og c, samt vinkel $\gamma$ som ligger motsatt av linjestykke c.



$$\begin{gathered} e=a\cdot cos(180-\gamma )=-a\cdot cos\gamma \\ d=\sqrt{a^2-a^{2}co{s}^2\gamma }=a\sqrt{-co{s}^2\gamma +1}=a\cdot sin\gamma \\ c=\sqrt{d^2+(e+b{)}^2}=\sqrt{a^{2}si{n}^2\gamma +a^{2}co{s}^2\gamma -2ab\cdot cos\gamma +b^2}=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot cos\gamma } \end{gathered}$$

Vi har bevist at $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\gamma$ og dermed cosinussetningen.

$a^2+b^2+c^2-2bc\cdot cos\alpha$

Q.E.D