Vektorfelt og potensialfunksjoner

[matte_2]

Hei,
hvis en har vektorfeltet
F: (sinycosx)i + (cosysinx)j + k
stemmer det da at potensialfunksjonen er
f(x,y,z) = sinysinx + siny+z+C??

f(0,1,1) - f(1,0,0) = 1
men jeg får f(0,1,1) - f(1,0,0) til å bli = sin1 + 1
Kan noen hjelpe meg?

[Janhaa]

Hei,
hvis en har vektorfeltet
F: (sinycosx)i + (cosysinx)j + k
stemmer det da at potensialfunksjonen er
f(x,y,z) = sinysinx + siny+z+C??
f(0,1,1) - f(1,0,0) = 1
men jeg får f(0,1,1) - f(1,0,0) til å bli = sin1 + 1
Kan noen hjelpe meg?

etter det jeg husker er dette ikke korrekt, fordi;

[tex]\nabla f\,=\,\vec F[/tex]

slik at;

[tex]\nabla f\,:\,\text er den partiell deriverte i 3-D, dvs LaPlace operator[/tex]

hvis du partiell deriverer f, ser du at den ikke gir [tex]\,\,\vec F[/tex].
eller integrerer F leddvis og du finner f

[tex]f(x,y,z)=\sin(x)\sin(y)\,+\,\sin(x)\sin(y)\,+\,z[/tex]

[Magnus]

Jannern husker korrekt! Per definisjon er en potensialfunksjon [tex]f[/tex] til en vektorfunksjon [tex]\vec{F}[/tex] en funksjon slik at [tex]\nabla f = \vec{F}[/tex] så nå gjelder det bare å sammenlikne ledd her.

Anta [tex]\vec{F} = [M,N,O][/tex] da har man at [tex]\nabla f = [\frac{df}{dx}, \frac{df}{dy}, \frac{df}{dz}] = [M,N,O][/tex] ergo

[tex]\frac{df}{dx} = M[/tex]
[tex]\frac{df}{dy} = N[/tex]
[tex]\frac{df}{dz} = O[/tex]

Ergo:
[tex]\frac{df}{dx} = \sin(y)\cdot\cos(x)[/tex]. God gammel differensiallikning som gir [tex]f = \sin(y)\sin(x) + C(y,z)[/tex]. Problemet nå er altså å bestemme denne [tex]C[/tex] som kan være funksjon av både y og z. Videre vet vi at [tex]\frac{df}{dy} = \cos(y)\sin(x)[/tex]. Deriverer den funksjonen vi integrerte oss fram til og finner [tex]\frac{df}{dy} = \cos(y)\sin(x) + \frac{dC}{dy}[/tex] som skal være lik [tex]\cos(y)\sin(x)[/tex]. Dermed må [tex]\frac{dC}{dy} = 0[/tex] og C er en funksjon av z. Herfra kommer du kanskje i mål?