Denne oppgaven er hentet fra boka 3MX sinus.
Vi har to plan med likningene:
[tex]2x+y-3z+1=0[/tex]
[tex]2x+y-3z+5=0[/tex]
a)Forklar hvorfor planene er parallelle.
Mulig svar for oppgave a: Jeg lurer på om det er fordi begge likningenen har den samme normalvektoren som er [tex]\vec {n}=[2,1,-3][/tex],hvis dette ikke lyder korrekt hva er det riktige da?
Og en oppgave til som jeg henger meg fast på er som følger:
b)Finn avstanden mellom planene.
Takk og takk p.f.h!
Parallelle planer
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Prøv å spørre deg selv hvilke elementer i planligningen [tex]az+by+cx+d=0[/tex] angir hvilken vei normalvektoren peker, og lag et logisk ressonement ut ifra det du finner.
Har du prøvd å løse b) selv, eller bare slengt den her med en gang?
Har du prøvd å løse b) selv, eller bare slengt den her med en gang?
Da har jeg nok en gang til prøvd å løse denne men uten resultat tror jeg.Jeg tenkte at normalvektoren for den ene likningen begynner fra en plan der x=1, mens den andre likningen har en plan som begynner fra x=5. Og felles for disse to planene er at begge har samme normalvektorer noe som gjør dem parallellt. Jeg er ikke helt sikker på at dette er et svar for oppgave a.
Utenom det har jeg også prøvd å løse oppgave b men uten at jeg lyktes.
Derfor håper jeg noen er på forumet vil legge ut løsningene for disse to oppgavene så jeg vet hvordan det ligger ann.
Utenom det har jeg også prøvd å løse oppgave b men uten at jeg lyktes.
Derfor håper jeg noen er på forumet vil legge ut løsningene for disse to oppgavene så jeg vet hvordan det ligger ann.
Kan du vise hvordan du gikk frem for å løse b)?
Flere plan.
Du vet retningsvektoren til en rett linje ut fra ett av planene (altså, som går parallellt med normalvektoren). Normalvektoren står jo også normalt på det andre planet, og dermed blir avstanden lengden av vektoren fra plan 1 til plan 2 som er parallell med normalvektoren til planet.
Ser for eksempel at (0,-1,0) ligger på P1. Da får du x = 2t, y = -1 +t, z = -3t. Substituer inne dette for (x,y,z) i P2 og løs for t.
Du vet retningsvektoren til en rett linje ut fra ett av planene (altså, som går parallellt med normalvektoren). Normalvektoren står jo også normalt på det andre planet, og dermed blir avstanden lengden av vektoren fra plan 1 til plan 2 som er parallell med normalvektoren til planet.
Ser for eksempel at (0,-1,0) ligger på P1. Da får du x = 2t, y = -1 +t, z = -3t. Substituer inne dette for (x,y,z) i P2 og løs for t.
Som Magnus sa; ett plan, flere plan.
Utledningen av en likning til et plan står helt sikkert i boken din, og det er viktig at du lærer deg den før du går i gang med oppgavene.
Les og lær:
Utledningen av en likning til et plan står helt sikkert i boken din, og det er viktig at du lærer deg den før du går i gang med oppgavene.
Les og lær:
Ser du da hvordan du kan "finne igjen" normalvektoren?Likning for et plan wrote: La et plan ha normalvektoren [tex]\vec n = [a,\,b,\,c][/tex] og gå igjennom et kjent punkt [tex]A = (x_1,\,y_1,\,z_1)[/tex]. La [tex]B = (x,\,y,\,z)[/tex] være et tilfeldig punkt i planet.
Da vil [tex]\vec{AB}\, \per\, \vec{n}[/tex] og da følgelig [tex]\vec{AB} \cdot \vec{n} = 0[/tex]. Dette gjelder for alle punkter B som ligger i planet.
[tex]\vec{AB} = [x-x_1,\,y-y_1,\,z-z_1][/tex]
Da kan vi utlede en likning for et plan:
[tex]\Pi:\,a(x-x_1) + b(y-y_1)+c(z-z_1) = 0[/tex]
[tex]\Pi:\, ax + by + cz -ax_1-by_1-cz_1 = 0[/tex]
Eller:
[tex]\Pi:\, ax + by + cz + d = 0[/tex], der [tex]d = -ax_1-by_1-cz_1[/tex]
Ja, [tex]\Pi:\, ax + by + cz + d = 0[/tex]
Her har jo normalvektoren kordinatene [tex][a,b,c][/tex]
Hvis jeg tenker riktig så skal jeg finne normalvektoren for begge planene og deretter finne avstanden mellom disse to normalvektorene for å løse oppgave b?
Her har jo normalvektoren kordinatene [tex][a,b,c][/tex]
Hvis jeg tenker riktig så skal jeg finne normalvektoren for begge planene og deretter finne avstanden mellom disse to normalvektorene for å løse oppgave b?
Har du sett på formelen for avstanden mellom et punkt og et plan?
Hvis to plan ikke er parallelle vil de skjære hverande, og derfor ha avstand 0.
Men når to plan er parallelle vil et hvert punkt plan A være like langt fra plan B, og du kan bruke et tilfeldig punkt i A sammen med formelen for avstand mellom punkt og plan for å finne avstanden mellom planene.
Hvis to plan ikke er parallelle vil de skjære hverande, og derfor ha avstand 0.
Men når to plan er parallelle vil et hvert punkt plan A være like langt fra plan B, og du kan bruke et tilfeldig punkt i A sammen med formelen for avstand mellom punkt og plan for å finne avstanden mellom planene.
Avstand mellom et punkt og et plan wrote:Avstanden fra [tex]P =(x_1,\,y_1,\,z_1)[/tex] til planet [tex]ax+by+cz+d=0[/tex] er gitt ved
[tex]D = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}[/tex]
Okey, da tenker jeg at lengden er fra andre planet minus det første planet, altså 5-1=4. Og da gjenstår det å finne kordinatene til [tex]P(x_0,y_0,z_0)[/tex] som jeg setter i likningen [tex]2x+y-3z+1=0[/tex]
Jeg fant altså kordinatene [tex]P(2,2,1)[/tex].Setter de i den første likningen slik: [tex]2\cdot 2+2-3 \cdot 1 +1[/tex] som gir lik 4.
Dermed er avstanden [tex]d=\frac{|4|}{\sqrt {2^2+1^2 (-3)^2}}=\frac{4}{\sqrt {14}}[/tex]
Er dette riktig fremgangsmåte,eler kan noen vise hva den riktige er?
EDIT:Magnus:Fremgangsmåten din vet jeg ikke hva du mener.
Jeg fant altså kordinatene [tex]P(2,2,1)[/tex].Setter de i den første likningen slik: [tex]2\cdot 2+2-3 \cdot 1 +1[/tex] som gir lik 4.
Dermed er avstanden [tex]d=\frac{|4|}{\sqrt {2^2+1^2 (-3)^2}}=\frac{4}{\sqrt {14}}[/tex]
Er dette riktig fremgangsmåte,eler kan noen vise hva den riktige er?
EDIT:Magnus:Fremgangsmåten din vet jeg ikke hva du mener.
Gitt to parallelle plan [tex]\Pi:\,\,2x+y-3z+1=0[/tex] og [tex]\Sigma:\,\,2x+y-3z+5=0[/tex]. Finn avstanden mellom planene.
*Vi leser min forrige post*
Vi ser at punktet [tex](1,\,0,\,1)[/tex] passer i [tex]\Pi[/tex].
Avstanden mellom planene er derfor:
[tex]D = \frac{|2\cdot1+0-3\cdot1+5|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2}}= \frac{4}{\sqrt{14}}[/tex]
*Vi leser min forrige post*
Vi ser at punktet [tex](1,\,0,\,1)[/tex] passer i [tex]\Pi[/tex].
Avstanden mellom planene er derfor:
[tex]D = \frac{|2\cdot1+0-3\cdot1+5|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3)^2}}= \frac{4}{\sqrt{14}}[/tex]
???Wentworth wrote:Okey, da tenker jeg at lengden er fra andre planet minus det første planet, altså 5-1=4.
Jeg tenkte bare at hvis jeg fant differansen mellom tallet d fra begge likningene så kunne jeg sette denne differansen lik den første likningen,og de kordinatene jeg fant da for den første likningen som svarte til denne differansen er kordinatene jeg bruker sammen med den første likningen i avstandsformelen d. Men dette er kanskje ikke riktig fremgangsmåte eller helt feil tror jeg.Selvom jeg fikk riktig svar betyr det ikke at det er riktig fremgangsmåte.
Takk for hjelpen alle som svarte meg, setter pris på det.
Takk for hjelpen alle som svarte meg, setter pris på det.