Produkt

[Sonki]

Beregn produktet under uten kalkulator.

$\frac{({10}^4+324)({22}^4+324)...({58}^4+324)}{(4^4+324)({16}^4+324)...({52}^4+324)}$
lykke til

[Knuta]

Skal vi se.... Vi skriver om litt tin en generell løsning...

$\prod _{n=0}^m\frac{(10+12n{)}^4+324}{(4+12n{)}^4+324}$

Dette gjøres lett om til

$\frac{72m^2+156m+89}{5}$

svaret får vi når vi fyller inn m=4

$\frac{72\cdot 4^2+156\cdot 4+89}{5}$

Nei. Du har helt rett. Umulig å gjøre dette uten kalkulator.
Siden batteriene er utbrukte og butikken stengt får du vente til i morgen.

[moth]

Hehe, jeg har regnet og regnet og kommet fram til dette

$\frac{({10}^4+324)({22}^4+324)({34}^4+324)({46}^4+324)({58}^4+324)}{(4^4+324)({16}^4+324)({28}^4+324)({40}^4+324)({52}^4+324)}$

$\frac{({100}^2+{18}^2)({488}^2+{18}^2)({1156}^2+{18}^2)({2116}^2+{18}^2)({3364}^2+{18}^2)}{({16}^2+{18}^2)({256}^2+{18}^2)({784}^2+{18}^2)({1600}^2+{18}^2)({2704}^2+{18}^2)}$

$\frac{4({50}^2+9^2)4({244}^2+9^2)4({578}^2+9^2)4({1058}^2+9^2)4({1682}^2+9^2)}{4(8^2+9^2)4({128}^2+9^2)4({392}^2+9^2)4({800}^2+9^2)4({1352}^2+9^2)}$

$\frac{({50}^2+81)({244}^2+81)({578}^2+81)({1058}^2+81)({1682}^2+81)}{(8^2+81)({128}^2+81)({392}^2+81)({800}^2+81)({1352}^2+81)}$

$\frac{(2581)(59807)(334165)(1119445)(2829205)}{(145)(16465)(153745)(640081)(1827985)}$

$\frac{(2581)(59807)5(66833)5(223889)5(565841)}{(145)5(3293)5(30749)(640081)5(365597)}$

$\frac{(2581)(59807)(66833)(223889)(565841)}{(145)(3293)(30749)(640081)(365597)}$

$\frac{(155211867)(66833)(223889)(565841)}{(477440)(30749)(640081)(365597)}$

Merker meg at dette ikke er noe lett uten kalkulator og gir foreløpig opp. Ikke umulig at dette er en haug med primtall heller. Kan prøve mer seinere, men hvis Knuta sier det ikke går uten kalkulator, så er det vel ikke noe vits.

[Emilga]

$\frac{(155211867)(66833)(223889)(565841)}{(477440)(30749)(640081)(365597)}$

Vi kan jo faktorisere:

$\frac{(3^2\cdot 17245763)(13\cdot 53\cdot 97)(241\cdot 929)(37\cdot 41\cdot 373)}{(2^8\cdot 5\cdot 373)(97\cdot 317)(13\cdot 53\cdot 929)(37\cdot 41\cdot 241)}$


$\frac{3^2\cdot 17245736}{2^8\cdot 5\cdot 317}\approx 382,520761$

[moth]

Huh, gjorde du det no uten kalkulator? I så fall hvordan da?
Ser ikke ut som jeg hadde regnet helt riktig hvis det er svaret ihvertfall.

[Emilga]

Jeg brukte et selvlagt program som faktoriserer store tall for meg. Det er jo strengt tatt ikke en kalkulator.

EDIT: Eller kanskje det er det, men jeg skulle gjerne sett en elegant løsning på oppgaven.

[moth]

Det er jo sant, selv om kanskje definisjonen på en kalulator er vel en maskin/program man kan kalkulere med. Så i det tilfellet er det vel kanskje en slags kalkulator

Edit: Ja, jeg og

[mrcreosote]

Her er et hint:

$n^4+4m^4=(n^4+4n^2{m}^2+4m^4)-4n^2{m}^2=\dots$

Fortsett til du har faktorisert fjerdegradspolynomet til et produkt av 2 andregradspolynomer, og se om ikke ting begynner å falle da.

[moth]

Takk for tipset, men jeg kommer ikke lenger enn dette

$n^4+4m^4=(n^4+4n^2{m}^2+4m^4)-4n^2{m}^2=(n^2+2m^2{)}^2-4n^2{m}^2$

Vet ikke om det var akkurat det du mente, men jeg prøver jeg

[Sonki]

Denne oppgaven er fullt mulig å løse uten kalkulator , og oppgaven har en rimelig pen løsning.

Uansett vil jeg anbefale dere å følge mrcresote sitt tips

[moth]

$n^4+4m^4=(n^4+4n^2{m}^2+4m^4)-4n^2{m}^2=(n^2+2m^2{)}^2-4n^2{m}^2$

$\frac{({10}^4+324)({22}^4+324)({34}^4+324)({46}^4+324)({58}^4+324)}{(4^4+324)({16}^4+324)({28}^4+324)({40}^4+324)({52}^4+324)}$

$\frac{({10}^4+4\cdot 3^4)({22}^4+4\cdot 3^4)({34}^4+4\cdot 3^4)({46}^4+4\cdot 3^4)({58}^4+4\cdot 3^4)}{(4^4+4\cdot 3^4)({16}^4+4\cdot 3^4)({28}^4+4\cdot 3^4)({40}^4+4\cdot 3^4)({52}^4+4\cdot 3^4)}$

$\frac{(({10}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {10}^2\cdot 3^2)(({22}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {22}^2\cdot 3^2)(({34}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {34}^2\cdot 3^2)(({46}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {46}^2\cdot 3^2)(({58}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {58}^2\cdot 3^2)}{((4^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot 4^2\cdot 3^2)(({16}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {16}^2\cdot 3^2)(({28}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {28}^2\cdot 3^2)(({40}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {40}^2\cdot 3^2)(({52}^2+2\cdot 3^2{)}^2-4\cdot {52}^2\cdot 3^2)}$

$\frac{((100+18{)}^2-4\cdot 100\cdot 9)((484+18{)}^2-4\cdot 484\cdot 9)((1156+18{)}^2-4\cdot 1156\cdot 9)((2116+18{)}^2-4\cdot 2116\cdot 9)((3364+18{)}^2-4\cdot 3364\cdot 9)}{((16+18{)}^2-4\cdot 16\cdot 9)((256+18{)}^2-4\cdot 256\cdot 9)((784+18{)}^2-4\cdot 784\cdot 9)((1600+18{)}^2-4\cdot 1600\cdot 9)((2704+18{)}^2-4\cdot 2704\cdot 9)}$

$\frac{((118{)}^2-3600)((502{)}^2-67424)((1174{)}^2-41616)((2134{)}^2-76176)((3382{)}^2-121104)}{((34{)}^2-576)((274{)}^2-9216)((802{)}^2-28224)((1618{)}^2-57600)((2722{)}^2-97344)}$

$\frac{2(5162)2(116290)2(665982)2(2237388)2(5655027)}{2(290)2(32930)2(307590)2(1285012)2(3655970)}$

$\frac{2(2581)2(55145)2(332991)2(1118694)(5655027)}{2(145)2(16465)(307590)2(642506)2(1827985)}$

$\frac{(2581)(55145)(332991)(1118694)(5655027)}{(145)(16465)(307590)(642506)(1827985)}$

Kanskje ikke akkurat slik du ville ha den løst, men jeg måtte no prøve. Nå er jeg så mør i skallen at jeg tror ikke jeg orker mer i dag. Fortsetter kanskje i morgen hvis ingen andre svarer. Veldig god trening dette ihvertfall.

[Knuta]

Hehe, jeg har regnet og regnet og kommet fram til dette

........


$\frac{(2581)(59807)(66833)(223889)(565841)}{(145)(3293)(30749)(640081)(365597)}$

$\frac{(155211867)(66833)(223889)(565841)}{(477440)(30749)(640081)(365597)}$

Merker meg at dette ikke er noe lett uten kalkulator og gir foreløpig opp. Ikke umulig at dette er en haug med primtall heller. Kan prøve mer seinere, men hvis Knuta sier det ikke går uten kalkulator, så er det vel ikke noe vits.

Jepp det skal ikke være lett men litt er feil.

2581 * 59807 [symbol:ikke_lik] 155211867 og 145 * 3293 [symbol:ikke_lik] 477440

[moth]

$\frac{({10}^4+4\cdot 3^4)({22}^4+4\cdot 3^4)({34}^4+4\cdot 3^4)({46}^4+4\cdot 3^4)({58}^4+4\cdot 3^4)}{(4^4+4\cdot 3^4)({16}^4+4\cdot 3^4)({28}^4+4\cdot 3^4)({40}^4+4\cdot 3^4)({52}^4+4\cdot 3^4)}$

$\frac{((118{)}^2-3600)((502{)}^2-67424)((1174{)}^2-41616)((2134{)}^2-76176)((3382{)}^2-121104)}{((34{)}^2-576)((274{)}^2-9216)((802{)}^2-28224)((1618{)}^2-57600)((2722{)}^2-97344)}$

$\frac{(2581)(55145)(332991)(1118694)(5655027)}{(145)(16465)(307590)(642506)(1827985)}$

$\frac{(2581)(11029)3(110997)(559347)7(269287)}{5(29)5(3293)2(51265)(321253)(365597)}$

Jeg gir opp. Håper virkelig at jeg har regnet feil ellers er denne rett og slett for jæ..
Muligens en annen måte det skal gjøres på og, men uansett. Håper noen andre har lyst å prøve seg for jeg er ganske nysgjerrig på å se løsningen.

[moth]

Jepp det skal ikke være lett men litt er feil.

2581 * 59807 [symbol:ikke_lik] 155211867 og 145 * 3293 [symbol:ikke_lik] 477440

Ja, jeg ser det, men jeg vet ikke om det hadde funket uansett. De andre tallene er ikke så veldig greie heller akkurat.

[moth]

$(n^2+2m^2{)}^2-4n^2{m}^2=2(\frac{n^2}{2}+m^2{)}^2-4n^2{m}^2=4(\frac{1}{2}(\frac{n^2}{2}+m^2{)}^2-(nm{)}^2)=\frac{1}{2}(\frac{n^2}{2}+m^2{)}^2-(nm{)}^2$


$\frac{((\frac{{10}^2}{2}+3^2{)}^2-(10\cdot 3{)}^2)((\frac{{22}^2}{2}+3^2{)}^2-(22\cdot 3{)}^2)((\frac{{34}^2}{2}+3^2{)}^2-(34\cdot 3{)}^2)((\frac{{46}^2}{2}+3^2{)}^2-(46\cdot 3{)}^2)((\frac{{58}^2}{2}+3^2{)}^2-(58\cdot 3{)}^2)}{((\frac{4^2}{2}+3^2{)}^2-(4\cdot 3{)}^2)((\frac{{16}^2}{2}+3^2{)}^2-(16\cdot 3{)}^2)((\frac{{28}^2}{2}+3^2{)}^2-(28\cdot 3{)}^2)((\frac{{40}^2}{2}+3^2{)}^2-(40\cdot 3{)}^2)((\frac{{52}^2}{2}+3^2{)}^2-(52\cdot 3{)}^2)}$

$\frac{((\frac{100}{2}+9{)}^2-{30}^2)((\frac{484}{2}+9{)}^2-{66}^2)((\frac{1156}{2}+9{)}^2-{102}^2)((\frac{2116}{2}+9{)}^2-{138}^2)((\frac{3364}{2}+9{)}^2-{174}^2)}{((\frac{16}{2}+9{)}^2-{12}^2)((\frac{256}{2}+9{)}^2-{48}^2)((\frac{784}{2}+9{)}^2-{84}^2)((\frac{1600}{2}+9{)}^2-{120}^2)((\frac{2704}{2}+9{)}^2-{156}^2)}$

$\frac{\left(\frac{{118}^2-4({30}^2)}{4}\right)\left(\frac{{502}^2-4({66}^2)}{4}\right)\left(\frac{{1174}^2-4({102}^2)}{4}\right)\left(\frac{{2134}^2-4({138}^2)}{4}\right)\left(\frac{{3382}^2-4({174}^2)}{4}\right)}{\left(\frac{{34}^2-4({12}^2)}{4}\right)\left(\frac{{274}^2-4({48}^2)}{4}\right)\left(\frac{{802}^2-4({84}^2)}{4}\right)\left(\frac{{1618}^2-4({120}^2)}{4}\right)\left(\frac{{2722}^2-4({156}^2)}{4}\right)}$

$\frac{(4({59}^2)-4({30}^2))(4({251}^2)-4({66}^2))(4({587}^2)-4({102}^2))(4({1067}^2)-4({138}^2))(4({1691}^2)-4({174}^2))}{(4({17}^2)-4({12}^2))(4({137}^2)-4({48}^2))(4({401}^2)-4({84}^2))(4({809}^2)-4({120}^2))(4({1361}^2)-4({156}^2))}$

$\frac{({59}^2-{30}^2)({251}^2-{66}^2)({587}^2-{102}^2)({1067}^2-{138}^2)({1691}^2-{174}^2)}{({17}^2-{12}^2)({137}^2-{48}^2)({401}^2-{84}^2)({809}^2-{120}^2)({1361}^2-{156}^2)}$

$n^2-m^2=(n+m)(n-m)$

$\frac{((59+30)(59-30))((251+66)(251-66))((587+102)(587-102))((1067+138)(1067-138))((1691+174)(1691-174))}{((17+12)(17-12))((137+48)(137-48))((401+84)(401-84))((809+120)(809-120))((1361+156)(1361-156))}$

$\frac{((89)(29))((317)(185))((689)(485))((1205)(929))((1865)(1517))}{((29)(5))((185)(89))((485)(317))((929)(689))((1517)(1205))}$



$\frac{1865}{5}=\underset{―}{\underset{―}{373}}$

Håper det er riktig svar, det blir ihvertfall mitt siste forsøk
(tror jeg )