MatteNoobs spørsmål ang. vektorer i rommet 3MX

[MatteNoob]

En rett linje l skal ligge i planet

[tex]3x-4y+2z+4=0[/tex]

slik at alle punkter på l skal ha avstanden 6 fra xy-planet.

a) Hvilken z-verdi må punktene på l ha?

b) Finn en parameterfremstilling for l.

a)
Linjen skal være rett og ligge i det gitte planet. Avstanden skal være 6 ifra xy-planet. Dermed må z-verdien være enten 6 eller -6.

Det er b) jeg sliter med.

Edit: endring av emnetittel pga tilføyede poster.

[Janhaa]

Er vel bare å sette z = [symbol:plussminus] 6 inn i planlikninga. F.eks. z = - 6

[tex]4y=3x\,-\,8[/tex]
[tex]y={1\over 4}(3x\,-\,8)[/tex]

velg x = t som gir y = 0,75t - 2 og z =-6

[tex]x=t \\ \wedge \\ y={3\over 4}t\,-\,2 \\ \wedge \\ z =-6[/tex]

evt:

[tex][x,\,y,\,z]\,=\,[1,\,{3\over 4},\,0]t\,+\,[0,\,-2,\,-6][/tex]

-------------------------
edit; glemte z-koordinaten

[MatteNoob]

Takk skal du ha. :]

Jeg forsto hva du gjorde, men jeg klarer ikke å visualisere hvorfor det blir riktig. Fasiten sier forøvrig at svarene er:

a) [tex]\pm 6[/tex]

b) [tex]x=4t \;\wedge \;y=3t-2\; \wedge\; z=-6 \;\;\; \vee \;\;\; x=4t\;\wedge\; y=3t+4\;\wedge\; z=6[/tex]

Har du (eller andre) noen idé om hvordan de har kommet frem til det?

[Karl_Erik]

Svaret du har fått er selvfølgelig helt riktig, men kan jo prøve å hjelpemed visualiseringen. Linjen du vil fram til er alle punktene som ligger i det oppgitte planet og har avstand lik 6 fra xy-planet, ikke sant? Det er da klart at alle punktene på linjen l passer inn i likningen til planet p. Det er også klart at de oppfyller likningen z=6, som du selv har kommet fram til. Så setter vi bare inn denne verdien for z i den opprinnelige likningen for å finne alle punkter som passer inn i begge likningene og står igjen med likningen som beskriver linjen l.

[MatteNoob]

Takk skal du ha, jeg tror jeg skjønte litt mer nå :]

[MatteNoob]

Er dette feil? Svaret stemmer ikke overens med fasit, men jeg skjønner ikke hvor jeg tråkker i salaten...

_________

Finn avstanden fra sentrum i kula

[tex](x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 36[/tex]

til planet

[tex]3x-2y+4z=8[/tex]

Sentrum av kula er i punktet:
[tex]S(3, 4, 0)[/tex]

Normalvektoren til planet er
[tex]\vec{n} = [3, -2, 4][/tex]

Vi velger et tilfeldig valgt punkt på planet
[tex]P(x, y, z)[/tex]

[tex][x, y, z]=[3, 4, 0]+[3, -2, 4]t[/tex]

Vi vil finne avstanden

[tex]\rm{D} = \sqrt{(3+3t)^2 + (4-2t)^2 + (4t)^2}[/tex]

Vi løser ut og forenkler radikanden.
[tex]f(t) = 29t^2 + 2t + 25[/tex]

Vi ser av a=29 at radikanden har et bunnpunkt. (a er positiv). Vi deriverer funksjonen og setter den deriverte lik 0 for å finne ekstremalpunktet til radikanden.

[tex]f\prime(t) = 58t+2 \\ \, \\ \, \\ f\prime(t) = 0 \\ \, \\ t = -\frac{2}{58}=\underline{-\frac{1}{29}}[/tex]

Løser;
[tex]f(-\frac{1}{29}) = 29(-\frac{1}{29})^2 + 2(-\frac{1}{29}) + 25 = \underline{\frac{724}{29}}[/tex]

Setter inn i avstandsformelen og løser.
[tex]\rm{D} = \sqrt{\frac{724}{29}}[/tex]

Forkorter ikke, fordi jeg er usikker på svaret.

[Janhaa]

Kan du ikke bare bruke avstandsformel'n fra punktet (3, 4, 0) i rommet til
planet 3x - 2y + 4z = 8

--------------------------------

ang forslaget ditt, så ligger ikke (3, 4, 0) i planet

--------------------------------

Er svaret [tex]\,\,d=\frac{7\sqrt{29}}{29}[/tex]

[MatteNoob]

Kan du ikke bare bruke avstandsformel'n fra punktet (3, 4, 0) i rommet til
planet 3x - 2y + 4z = 8

--------------------------------

ang forslaget ditt, så ligger ikke (3, 4, 0) i planet

--------------------------------

Er svaret [tex]\,\,d=\frac{7\sqrt{29}}{29}[/tex]

Herregud, så komplisert jeg har gjort det. Dette viser jo tydelig hvor lav forståelsen min er her. Selvfølgelig vil sentrum av kulen kun være angitt som et punkt...

[tex]\rm{D}=\frac{|3\cdot 3-2\cdot 4-8|}{\sqrt{3^2+(-2)^2 + 4^2}} = \frac{|9-8-8|}{\sqrt{9+4+16}} = \frac{7}{\sqrt{29}} = \frac{7\sqrt{29}}{29}[/tex]

Nei, (3, 4, 0) var punktet for sentrum av kulen (som du allerede vet), og derfor tenkte jeg at normalvektoren fra et tilfeldig punkt (x, y, z) i planet, gjennom senter av kulen, hvis lengde ville gi det riktige svaret, hehehe...

Selvfølgelig har du rett som vanlig! :] Du er jo en tallknuser av 13 dimensjoner. :]

Tusen takk, Janhaa. - Faktisk, så synes jeg vektorer er veldig spennende og moro, og snart er det igang med det Wentworth driver med, det blir artig :]