Vektorer i rommet, jeg løser.

[MatteNoob]

I denne tråden kommer jeg til å gjøre oppgaver fra læreboken i 3MX fra Aschoug forlag. ISBN 82-03-32891

I tillegg er det også oppgaver fra oppgavesamlingen for 3MX, også denne fra samme forlag og med følgende ISBN-nummer:

ISBN-10: 82-03-32894-6
ISBN-13: 978-82-03-32894-7

Jeg gjør dette av to grunner:
1. For å lære selv.
2. Slik at andre kan lære av det.

Det er også noen eksamensoppgaver. Disse har jeg ikke fasit på, derfor håper jeg folk kan kommentere disse oppgavene dersom de finner feil.

Jeg kommer til å poste én oppgave per post, slik at jeg ikke mister alt dersom det feks blir strømbrudd under en løsningssesjon.

Tykk blå tekst: Angir start av løsning på deloppgaver.
Tykk rød tekst: Jeg står fast, og ønsker forklaring.
Tykk grønn tekst: Forklaringer der jeg anser det for nødvendig.
Tykk lilla tekst: Eksamensoppgaver fra 3MX

Kommentarer, spørsmål, bidrag og alternative løsningsmetoder er selvsagt hjertlig velkommen! :]

[MatteNoob]

a) Skriv opp en parameterfremstilling for en linje l som går gjennom (-1, 4) og har [tex]\vec v = [3, -2][/tex] som retningsvektor.

b) Finn en vanlig likning for l.

a)
[tex][x-(-1), y-4] = [3,-2]t \\ \, \\ [x+1, y-4] = [3t,-2t] \\ \, \\ x=3t-1 \;\;\wedge\;\; y = 4-2t[/tex]

b)
Vi vil uttrykke y ved x.
[tex]\rm{1)} \\ \, \\ x=3t-1 \\ \Rightarrow t = \frac{x+1}{3}[/tex]

Setter inn for 1) i den andre likningen;
[tex]y = 4-2\cdot\left(\frac{x+1}{3}\right) \\ \, \\ y = 4-\frac{2(x+1)}{3} \\ \, \\ y = \frac{12-2x-2}{3} \\ \, \\ y = \frac{10}{3} - \frac 23 x[/tex]

[MatteNoob]

a) Vis at vektoren [-k, 1] står vinkelrett på [1. k]

b) En rett linje l har retningsvektoren [1, k]. Finn retningsvektoren til en linje n som står vinkelrett på l.

Hva er stigningstallet for l og n?

c) Finn likningen for normalen til linja
[tex]y = 0.5x+2[/tex] i punktet (2, 3)

a)
[tex][-k, 1]\perp [1, k] \\ \, \\ [-k, 1]\cdot [1, k] = 0 \\ \, \\ -k + k = 0[/tex]

b)
[tex]l\perp n \\ \, \\ [1, k] \cdot [-k, 1] = 0[/tex]

Retningsvektoren for n, er [-k, 1]

Stigningstallene er:
[tex]a_l = k \;\;\; a_n = -\frac 1k[/tex]

c)
Vi ser av uttrykket for den gitte linja at retningsvektoren er [tex][1, \frac 12][/tex] (fordi a=0.5)

Vi setter at retningsvektoren for normalen er [x-2, y-3]

[tex][x-2, y-3] \cdot [1, \frac 12] = 0 \\ \, \\ x-2 + \frac 12 y - \frac 32=0 \\ \, \\ \Rightarrow \; y = \frac{2-x+\frac 32}{\frac 12} \\ \, \\ \Rightarrow \; y = 4-2x + \frac 62 \\ \, \\ \Rightarrow \; y = 7-2x[/tex]

[MatteNoob]

Finn eventuelle skjæringspunkter mellom sirkelen

[tex](x-3)^2 + (y+1)^2 = 25[/tex]

og linjene

a) [tex]x = 3+2t \;\;\wedge\;\; y = 2+3t[/tex]

b) [tex]x = 6-3t \;\;\wedge \;\; y = 4+2t[/tex]

a)
Ett vilkårling punkt på linjen gitt av parameterfremstillingen har koordinatene [tex]\rm{P} = \left(3+2t,\, 2+3t\right)[/tex]

Setter dette inn i likningen for sirkelen.
[tex]\left((3+2t)-3\right)^2 + \left((2+3t)+1\right)^2 = 25 \\ \, \\ (2t)^2 +(3t+3)^2 -25=0 \\ \, \\ 13t^2 + 18t - 16 = 0 \\ \, \\ t = \frac{-18\pm \sqrt{(18)^2 - 4\cdot 13 \cdot (-16)}}{2\cdot 13} \\ \, \\ t = \frac{-9\pm 17}{13} \\ \, \\ \Rightarrow\: t_1 = -2 \;\;\vee\;\; t_2 = -\frac{8}{13}[/tex]

Setter inn for t i parameterfremstillingene og finner

[tex]t_1 = -2 \Rightarrow \; x = 3+2\cdot(-2) = -1 \\ \, \\ t_1 = -2 \Rightarrow\; y = 2+3\cdot (-2) = -4 \\ \, \\ \, \\ \, \\ t_2 = -\frac{8}{13} \Rightarrow\; x = 3+2\cdot\left(-\frac{8}{13}\right) = \frac{39-16}{13} = \frac{23}{13} \\ \, \\ t_2 = -\frac{8}{13} \Rightarrow \; y = 2+3\cdot\left(-\frac{8}{13}\right) = \frac{26-24}{13} = \frac{2}{13}[/tex]

Dette gir krysningspunktene:
[tex]\rm{P_1} = (-1,\, -4) \\ \, \\ \rm{P_2} = \left(\frac{23}{13},\, \frac{2}{13}\right)[/tex]

b)
Samme fremgangsmåte som ovenfor gir:
[tex](3-3t)^2 + (5+2t)^2 = 10 \\ \, \\ 13t^2 -8t +24=0[/tex]

Detter gir diskriminanten
[tex](-8)^2 -4\cdot 13 \cdot 24 = 64-1248=-1184[/tex]

Likningen har ingen reelle løsninger. ie - linjen skjærer ikke sirkelen noen plasser.

[MatteNoob]

En sirkel gr gjennom punktet (4, 0) og tangerer y-aksen i punktet (0, 2)

Forklar at likningen for sirkelen kan skrives:
[tex](x-r)^2 + (y-2)^2 = r^2[/tex]

Finn r og skriv opp likningen for sirkelen.

Vi får gitt at sirkelen tangerer y-aksen i punktet (0, 2), dermed vil senter S av sirkelen være gitt ved [tex]\rm{S}=(r,\, 2)[/tex] - fordi den vil være r enheter til høyre for y-aksen når den tangerer.

Vi får også gitt at sirkelen går gjennom punktet (4, 0). Setter inn for x og y og løser mhp r.
[tex](4-r)^2 + (-2)^2 = r^2 \\ \, \\ -8r=-20 \\ \, \\ r=\frac 52[/tex]

Likningen for sirkelen blir da;
[tex](x-\frac 52)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac 52\right)^2[/tex]

[MatteNoob]

Bestem t slik at vektoren blir kortest mulig.

[tex]\vec v = \left[t,\, 4-t,\, 2-t\right][/tex]

[tex]|\vec v| = \sqrt{t^2 + (4-t)^2 + (2-t)^2} \\ \, \\ |\vec v| = \sqrt{3t^2 -14t +20}[/tex]

Radikanden er
[tex]f(t) = 3t^2 - 12t + 20[/tex]
(Her ser vi av funksjonsuttrykket at koeffesienten a er positiv. Grafen har et bunnpunkt.

Deriverer radikanden
[tex]f\prime(t) = 6t - 12[/tex]

Finner ekstremalverdiene til radikanden ved å sette
[tex]f\prime(t) = 0 \\ \, \\ 6t - 12 = 0 \\ \, \\ t = 2[/tex]

Setter inn for t
[tex]|\vec v| = \sqrt{3\cdot(2)^2 -12\cdot(2)+20} = \sqrt 8 = \underline{\underline{2\sqrt 2}}[/tex]

[MatteNoob]

Vektorene;
[tex]\vec a = [-2, 1, 0] \\ \, \\ \vec b = [1, -2, 2] \\ \, \\ \vec c = [4, 2, -3][/tex]

er gitt. Bestem t slik at [tex]\vec a + t\vec b[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec c[/tex]

[tex]\vec c \, \perp \, \vec a + t\vec b \\ \, \\ [4, 2, -3] \cdot \left([-2, 1, 0]+[1, -2, 2]t\right) = 0 \\ \, \\ 4(t-2) + 2(1-2t) -3(2t)=0 \\ \, \\ -6t = 6 \\ \, \\\underline{\underline{\,t=-1\,}}[/tex]

[MatteNoob]

En snegle kryper oppover en stram snor som er spent mellom to trær. Farten er konstant. Iløpet av 3 minutter kommer sneglen 4 cm lenger mot nord, 6 cm lenger mot øst og 2 cm høyere opp.

a) Legg inn et koordinatsystem og sett opp en parameterfremstilling for farten for bevegelsen, der t er antall minutter.

b) Hvor stor er farten?

c) Hvilken vinkel danner snora med bakken? (Horisontalplanet)

a)
Jeg tegner ikke, men finner parameterfremstillingen for bevegelsen. Slik definerer jeg:

Starter i origo, altså (0,0,0)
x-aksen = øst
y-aksen = nord
z-aksen = opp

Retningsvektoren for bevegelsen etter t minutter blir da [tex]\left[2,\, \frac 43,\, \frac 23\right]t[/tex]

Hvilket gir parameterfremstillingen
[tex]x = 2t \;\;\wedge\;\; y = \frac 43t \;\;\wedge\;\; z = \frac 23t[/tex]

b)
Setter [tex]t=0[/tex] og [tex]t=1[/tex] og finner punktene [tex]\rm{P_1} =(0, 0, 0)[/tex] og [tex]\rm{P_2}=\left(2, \frac 43, \frac 23\right)[/tex]

[tex]|\vec{OP_2}| = \sqrt{2^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{36+16+4}{9}} = \frac{\sqrt{56}}{3}=\underline{\underline{\frac{2\sqrt{14}}{3}\,\text{cm/min}}}[/tex]

c)
1. Vi er gitt posisjonsvektoren [tex]\vec{OA} = [6, 4, 2][/tex] (ved t = 3)

2. [tex]|\vec{OA}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{56} = 2\sqrt {14}[/tex]

3. [tex]|\vec{OB}| = |[6, 4, 0]| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} =2\sqrt{13}[/tex]

Vi har nå lengdene for hypotenus og hosliggende katet. Vinkelen mellom dem finner vi ved å bruke definisjonen på cosinus.

[tex]\cos(\theta) = \frac{2\sqrt{13}}{2\sqrt{14}} \\ \, \\ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}} \\ \, \\ \underline{\underline{\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{14}}\right) \approx 15.5^{\circ}}}[/tex]

[MatteNoob]

Bestem k slik at de to planene står vinkelrett på hverandre.

1) [tex]3x+2y+z=11[/tex]

2) [tex]-x+ky-5z=0[/tex]

Vi ser av likningsfremstillingene at:
1) Har normalvektoren [tex]\vec{n_1} = [3,\, 2,\, 1][/tex]

2) Har normalvektoren [tex]\vec{n_2} = [-1, \, k,\, -5][/tex]

Vi vil at;
[tex]\vec{n_1} \, \perp \, \vec{n_2} \\ \, \\ [3,2,1]\cdot[-1, k, -5]=0 \\ \, \\ -3+2k-5 = 0 \\ \, \\ 2k = 8 \\ \, \\ \underline{\underline{k = 4}}[/tex]

[MatteNoob]

I min lærebok fra Aschoug forlag, nevner de ikke opplysningene nedenfor, men bruker en mye mindre elegant metode for å finne avstanden mellom et punkt til planet.

I databasen Per og i Wikipedias artikkel om distance from point to plane lærer vi at gitt punktet [tex]P(x_1, y_1, z_1)[/tex], er avstanden til planet [tex]ax+by+cz + d=0 [/tex] gitt ved:

[tex]\rm{D} = \frac{\left| ax_1 + by_1 + cz_1 + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}[/tex]

[MatteNoob]

Bestem skjøringspunktet mellom linja l gitt ved

[tex][x, y, z] = [4, 6, 2] + t[2, 2, 1][/tex] og planet [tex]\alpha[/tex] gitt likningen

a) [tex]2x+4y+6z+12=0[/tex]

b) [tex]5y-7z-5=0[/tex]

c) [tex]x+y-z-1=0[/tex]

Generelt:
Av vektorlikningen ovenfor, får vi parameterfremstillingen

[tex]l: \; x=4+2t \;\;\wedge\;\; y = 6+2t \;\;\wedge\;\; z=2+t[/tex]

a)
Vi setter inn for x, y og z i planlikningen(e) og løser mhp t.
Deretter setter vi inn for t i parameterfremstillingen og finner koordinatene til skjæringspunktet [tex]\rm{P_n}[/tex]

[tex]2(4+2t) +4(6+2t)+6(2+t) + 12 = 0 \\ \, \\ 4t + 8t + 6t =-12 -8-24-12 \\ \, \\ 18t = -56 \\ \, \\ t = - \frac{28}{9} \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ \underline{\underline{P_1 = \left(-\frac{20}{9},\, -\frac 29,\, -\frac {10}{9}\right)[/tex]

Fremgangsmåten er lik for samtlige deloppgaver.

[MatteNoob]

Hvordan kan vi se at disse planene er parallelle? Finn avstanden mellom dem.

[tex]\alpha:\; 3x-2y+4z+10=0 \\ \, \\ \beta:\; 3x-2y+4z+20=0[/tex]

[tex]\vec{n_{\alpha}} = \vec{n_{\beta}} = \left[3,\, -2,\, 4\right] \\ \, \\ \Rightarrow \; \vec{n_{\alpha}} \, \parallel \, \vec{n_{\beta}}[/tex]

Avstanden mellom to parallelle plan, er lik den korteste avstanden mellom et punkt i det ene, til et punkt i det andre.

Vi finner et arbitrært punkt i [tex]\alpha [/tex]-planet.
[tex]y=1\;\; z=1 \\ \, \\ \Rightarrow 3x-2+4+10=0 \\ \, \\ x = \frac{2-4-10}{3} = -4 \\ \, \\ \, \\ P_{\alpha} = \left(-4, 1, 1\right)[/tex]

Vi finner avstanden til [tex]\beta[/tex]

[tex]\rm{D} = \frac{\left|3(-4)-2(1)+4(1)+20\right|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2}} = \frac{10}{\sqrt{29}} = \underline{\underline{\frac{10\sqrt{29}}{29}}}[/tex]

[MatteNoob]

Finn sentrum og radius i kula

[tex](x+3)^2+(y-4)^2+(z+2)^2 = 121[/tex]

Vi vet at likningen for ei kuleflate er gitt ved likningen:
[tex](x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2 = r^2[/tex]

Der sentrum [tex]\rm{S}=\left(x_1,\, y_1,\, z_1\right)[/tex] og radius er r

Vi finner at sentrum av sirkelen er gitt ved [tex]\rm{S}=(-3, 4, -2)[/tex] og at [tex]r= \sqrt{121} = 11[/tex]

[MatteNoob]

Finn skjæringspunktene mellom kula

[tex](x+2)^2+(y-6)^2 + (z-3)^2 = 50[/tex]

og linjen

[tex]x=-1+2t \;\;\wedge\;\; y=4-t\;\;\wedge\;\; z=4-2t[/tex]

Substituerer for x, y og z i kuleflatelikningen og løser mhp t.

[tex](2t+1)^2 +(-2-t)^2 + (1-2t)^2 = 50 \\ \, \\ 4t^2+t^2+4t^2\;+\;4t+4t-4t\;+\; 1 + 4 + 1 = 50 \\ \, \\ 9t^2 +4t -44=0 \\ \, \\ t=\frac{-4\pm 40}{18} \\ \, \\ \, \\ t_1 = -\frac{22}{9}\;\;\vee\;\; t_2 = 2[/tex]

Setter inn for t i parameterfremstillingen og henter ut punktene.

[tex]t_1 \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ x = \frac{-9+2\cdot (-22)}{9} = -\frac{53}{9} \\ \, \\ y=\frac{4\cdot 9 -(-22)}{9} = \frac{58}{9} \\ \, \\ z=\frac{4\cdot 9 -2\cdot(-22)}{9} = \frac{80}{9} \\ \, \\ \, \\ t_2 \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ x = 3 \\ \, \\ y = 2 \\ \, \\ z = 0 [/tex]

Vi har funnet punktene
[tex]\rm{P_1} = \left(-\frac{53}{9},\, \frac{58}{9},\, \frac{80}{9}\right) \\ \, \\ \rm{P_2} = \left(3,\, 2,\, 0\right)[/tex]

[MatteNoob]

Undersøk om dette er likningen for en kuleflate. Dersom det er slik, finn sentrum og radien i kula.

Generelt:
Bruker fullstendig kvadrat.

a)
[tex]x^2+y^2 +z^2 \, -2x+10z+31 =0 \\ \, \\ (x-1)^2 = x^2 - 2x +1 \\ \, \\ (z+5)^2 = z^2 + 10z + 25 \\ \, \\ (x-1)^2 + y^2 + (z+5)^2 = 26-31[/tex]

Nei, vi har ikke ei kuleflate i planet.

b)
[tex]x^2 + y^2 +z^2 \, +4-8y+6z+4=0 \\ \, \\ x^2 +y^2 +z^2 -8y+6z =-8 \\ \, \\ \, \\ x^2 + (y-4)^2 + (z+3)^2 = -8+9+16 \\ \, \\ x^2 + (y-4)^2 + (z+3)^2 = 17[/tex]

Ja, dette er likningen for ei kuleflate med [tex]\rm{S} = (0, 4, -3)[/tex] og [tex]r=\sqrt{17}[/tex]

PS: Det er skrivefeil i boken. Den opprinnelige likningen skulle inneholdt 4x for å svare til fasit.