Vektorer i rommet, jeg løser.

[MatteNoob]

Gitt kula

[tex]x^2 + y^2 + z^2 = 400[/tex]

Bestem likningen for tangentplanet i punktet [tex]\rm{P}=(16,\, 20,\, 12)[/tex]

Vi har ei kule med sentrum [tex]O=(0,0,0)[/tex] og [tex]r=\sqrt{400} = 20[/tex]

[tex]\vec{OP} = \vec{n} = [16, 20, 12] \Leftrightarrow [4, 5, 3][/tex]

[tex]4(x-16)+5(y-20)+3(z-12)=0 \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ 4x+5y+3z-200=0[/tex]

[MatteNoob]

Hvor stor er avstanden mellom to kuler (dvs- den korteste avstanden mellom ett punkt på den ene og ett punkt på den andre kuleflaten) gitt ved:

[tex]S_1 = (-7, 1, 3)[/tex]

[tex]r_1 = 7[/tex]

[tex]S_2 = (5, 5, 9)[/tex]

[tex]r_2 =3[/tex]

Kulene har likningsfremstillingene
[tex]\rm{K_1}:\; (x+7)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 49[/tex]

[tex]\rm{K_2}:\; (x-5)^2 + (y-5)^2 + (z-9)^2 = 9[/tex]

Finner retnings- og lengdevektor som går gjennom begge kulesenterne.
[tex]\vec{S_1S_2} = [5-(-7), 5-1, 9-3] = [12, 4, 6][/tex]

Vi vet nå at det er lengden av denne retningsvektoren minus de to kuleradiene som er den korteste avstanden fordi disse to punktene ligger overfor/ovenfor hverandre i en rett linje gjennom rommet. :]

[tex]\rm{D} = |\vec{S_1S_2}|-(r_1+r_2) = \\ \, \\ \sqrt{12^2 + 4^2 + 6^2}-(7+3) = \\ \, \\ \sqrt{196}-10 = \\ \, \\ 14-10 = \\ \, \\ \underline{\underline{\; 4\;}[/tex]

[MatteNoob]

En kuleflate med sentrum S(7, -5, 3) og radien r=9 er gitt. Undersøk om punktet A ligger innenfor eller utenfor kuleflaten når;

1) A(8, -2, 9)

2) A(10, 5, 12)

3) A(11, -1, 10)

Felles for alle deloppgavene, er at lengden av vektoren fra sentrum av kulen til punktet må være mindre enn 9 for at punktet skal ligge innenfor kuleflaten.

1)
[tex]|\vec{SA}| = \sqrt{(8-7)^2 +(-2-(-5))^2 +(9-3)^2} = \sqrt{46}[/tex]

[tex]\sqrt{46} \, <\, 9[/tex]

A ligger innenfor.

2)
[tex]|\vec{SA}| = \sqrt{(10-7)^2 +(5-(-5))^2 +(12-3)^2} = \sqrt{190}[/tex]

[tex]\sqrt{190} \, >\, 9[/tex]

A ligger utenfor.

3)
[tex]|\vec{SA}| = \sqrt{(11-7)^2 +(-1-(-5))^2 +(10-3)^2} = \sqrt{81} = 9[/tex]

[tex]9 \, =\, 9[/tex]

A ligger på kuleflaten.

[FredrikM]

Gitt kula

[tex]x^2 + y^2 + z^2 = 400[/tex]

Bestem likningen for tangentplanet i punktet [tex]\rm{P}=(16,\, 20,\, 12)[/tex]

Vi har ei kule med sentrum [tex]O=(0,0,0)[/tex] og [tex]r=\sqrt{400} = 20[/tex]

[tex]\vec{OP} = \vec{n} = [16, 20, 12] \Leftrightarrow [4, 5, 3][/tex]

[tex]4(x-16)+5(y-20)+3(z-12)=0 \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ 4x+5y+3z-200=0[/tex]

Blir kanskje litt dårlig notasjon å si at [tex]\vec{OP}=\vec{n}[/tex]. Da sier du jo på en måte at [tex]\vec{OP} = [4,5,3][/tex], og det blir jo galt. Men jeg har ingen forslag til bedre notasjon

Ellers må jeg vel gjenta meg selv og si at dette er godt lesestoff.