a)Oppgave 3.I wrote:Hjørnene i en pyramide ABCT er gitt ved:
[tex]A=(0, 1, 1) \\ \, \\ B=(2, 7, 0) \\ \, \\ C=(-1, 5, -2) \\ \, \\ T=(1, 8, 10)[/tex]
a) Vis at [tex]\vec n = [2, -1, -2][/tex] er en normalvektor gjennom planet [tex]\alpha[/tex] gjennom A, B og C.
b) Finn likningen for [tex]\alpha[/tex]
c) Finn avstanden fra [tex]T[/tex] til [tex]\alpha[/tex]
d) Finn [tex]\angle BAC[/tex]
e) Finn volumet av pyramiden.
[tex]\vec n = [a, b, c] \\ \, \\ \vec{AB} = [2, 6, -1] \\ \, \\ \vec{AC} = [-1, 4, -3][/tex]
[tex]\vec n \cdot \vec{AB} = 0 \;\;\vee\;\; \vec n \cdot \vec{AC} = 0 \\ \, \\ \Downarrow \\ \, \\ 2a+6b-c = 0 \;\;\vee\;\; -a+4b-3c=0[/tex]
Fordi det bare er retningen på normalvektoren som er viktig, kan jeg sette en av koordinatene. Jeg setter [tex]c=-2[/tex] og løser likningene mhp a og b.
[tex]2a+6b-(-2)=0 \;\;\vee\;\; -a+4b-3(-2)=0 \\ \, \\ b=-\frac{2a+2}{6}\;\;\rightarrow\;\; -a+4\cdot\left(-\frac{2a+2}{6}\right)=-6 \\ \, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -6a-8a-8 =-36 \\ \, \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; a = 2 \\ \, \\ b=-\frac{2\cdot 2 + 2}{6} \\ \, \\ b=-1[/tex]
Vi har [tex]\underline{\underline{\vec n = [2, -1, -2]}}[/tex]
b)
Velger punktet A og setter:
[tex]\alpha:\; 2(x-0) + (-1)(y-1)+(-2)(z-1) = 0 \\ \, \\ \Updownarrow \\ \, \\ \underline{\underline{ \alpha: \; 2x-y-2z+3=0}}[/tex]
c)
[tex]\rm{D} = \frac{\left|2\cdot 1 -8+(-2)\cdot(10) + 3\right|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \underline{\underline{\frac{23}{3}}}[/tex]
d)
[tex]\cos(\vec{AB},\, \vec{AC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} \\ \, \\ \Rightarrow \arccos\left(\frac{[2,6,-1]\cdot [-1, 4, -3]}{\sqrt{2^2 + 6^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-3)^2}}\right) \\ \, \\ \Rightarrow \arccos\left(\frac{25}{\sqrt{1066}}\right) \approx \underline{\underline{40.0^{\circ}}} [/tex]
e)
Her har jeg antatt følgende:
[tex]h = \rm{D} = \frac{23}{3}[/tex]
Videre har jeg tenkt at planet mellom A, B, C er grunnflaten i pyramiden, men jeg kommer ikke frem til det samme som fasiten.
