Sykkel, vektorer og posisjon [3MX]

[MatteNoob]

Hallo!
Et punkt P på sykkelhjuleter gitt ved:

[tex]\vec{r}(t) = \left[4t+0.32\cos\left(4\pi t + \frac \pi 2\right), \, 0.32-0.32\sin\left(4\pi t+\frac \pi 2\right)\right][/tex]

Finn fartsvektoren til punktet P.
Jeg fant:
[tex]\vec v (t) = \left[4-4\sin\left(4\pi t+\frac \pi 2\right),\, -4\cos\left(4\pi t+\frac \pi 2\right)\right][/tex]

Hvilken posisjon har flekken (P) når farten er størst?

[tex]|\vec v(t)| = \sqrt{\left(4-4\sin\left(4\pi t+\frac \pi 2\right)\right)^2 + \left(-4\cos\left(4\pi t+\frac \pi 2\right)\right)^2} \\ \, \\ \Rightarrow \; \sqrt{16-32\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right) + 16\sin^2\left(4\pi t + \frac \pi 2\right)+16\cos^2\left(4\pi t+\frac\pi 2\right)} \\ \, \\ \Rightarrow \; \sqrt{16-32\sin\left(4\pi t +\frac \pi 2\right) + 16} \\ \, \\ \Rightarrow \; \sqrt{32-32\sin\left(4\pi t+\frac \pi 2\right)} \\ \, \\ \Rightarrow 4\sqrt{2-2\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right)}[/tex]

Her begynner jeg å slite. Det jeg har forsøkt er:
Derivere radikanden.
Sette den deriverte av radikanden lik 0.
Løse med hensyn på t
Bruke verdien for t i [tex]\vec r(t)[/tex] for å finne [tex]\vec{OP} \Rightarrow \rm{P(x,\, y)[/tex]

Hvis noe er uklart, så skrik ut, slik at jeg kan forklare bedre. :]

[Badeball]

Denne oppgaven er helt analog til en oppgave Wentworth har spurt masse om i tidligere tråder. Sjekk dem ut. Skal du finne max/min av farten så må du derivere hele uttrykket for farten, ikke bare det under rottegnet, med mindre du argumenterer for at |v(t)|^2 har samme maksima og minima som |v(t)|.

[espen180]

Prøv å derivere fartsvektoren og se når aksellerasjonen er lik null. Da er farten i et ekstremalpunkt.

[MatteNoob]

Takk skal du ha, mattemichael. Jeg skal sjekke ut tråden(e) hans, men han har en lei tendens til å redigere poster etter han har fått tilbakemeldinger, så det er vanskelig å følge dem noen ganger.

Ser jo at jeg kan gjøre dette slik:

[tex]4\sqrt{2-2\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right)}[/tex]

Jeg ser at: [tex]\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right)[/tex] har amplitude 1, og derfor vil laveste verdi være -1 og høyeste verdi være 1. Uten å helt se logikken i hvorfor, så kan jeg sette inn:

[tex]\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right) = -1[/tex]

Og få:

[tex]4\sqrt{2-2(-1)} = 8[/tex]

Dermed;
[tex]4\sqrt{2-2\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right)} = 8 \\ \, \\ -2\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right) = 2 \\ \, \\ 4\pi t + \frac \pi 2 = \arcsin(-1) + 2k\pi \\ \, \\ t = \frac{-\pi + 2k\pi}{4\pi} \\ \, \\ t = \frac 12k - \frac 14[/tex]

Må gjerne gi meg forklaring på det i rødt.

[MatteNoob]

[tex]|\vec v (t)| = 4\sqrt{2-2\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right)}[/tex]

Deriverer banefarten og setter følgende substitusjoner:
[tex]u = 2-\sin (v) \;\; u\prime = -cos(v) \\ v=4\pi t + \frac \pi 2 \; \;\,\; v\prime = 4\pi[/tex]

[tex]4 \cdot (\sqrt{u})\prime \cdot u\prime \cdot v\prime \\ \, \\ \, \\ \frac{2\cdot \cancel 2 \cdot u\prime \cdot v\prime}{\cancel 2 \cdot \sqrt u} = \frac{2\cdot u\prime \cdot v\prime}{\sqrt{u}}[/tex]

Setter inn

[tex]\frac{2\cdot \left(-\cos\left((4\pi t + \frac \pi 2\right)\right) \cdot 4\pi}{\sqrt{2-2\sin\left(4\pi t+\frac\pi 2\right)}} = \underline{-\frac{8\pi\cos\left(4\pi t+\frac \pi 2\right)}{\sqrt{2-2\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right)}[/tex]

Okey, så da har jeg den deriverte av banefarten, og dermed skulle jeg finne ekstremalpunktene på [tex]|\vec v(t)|[/tex] ved å løse mhp t når den deriverte er lik 0.

[tex]-\frac{8\pi\cos\left(4\pi t+\frac \pi 2\right)}{\sqrt{2-2\sin\left(4\pi t + \frac \pi 2\right)}} = 0 \\ \, \\ \, \\ -8\pi \cos\left(4\pi t + \frac \pi 2\right) = 0 \\ \, \\ \cos\left(4\pi t + \frac \pi 2\right) = 0 \\ \, \\ 4\pi t + \frac \pi 2 = \arccos\left(0\right) + 2k\pi \;\;\vee\;\; 4\pi t + \frac \pi 2 = 2\pi - \arccos(0) + 2k\pi \\ \, \\ t_1 = \frac 12k \;\; \vee\, \, t_2 = \frac{\pi + 2k\pi}{4\pi} = \frac 14 + \frac 12k \;\;\;\; k\in\mathbb{Z} [/tex]

Da har vi funnet bunnpunktene på t[sub]1[/sub] og topp-punktene på t[sub]2[/sub]

Bruker k=0
[tex]t_2 = \frac 14[/tex] og finner posisjonsvektoren [tex]\vec r(\frac 14) = \vec{OP} \Rightarrow \rm{P}(x_1, y_1)[/tex] og dermed koordinatene for P.