Et rotintegral (buelengde) [3MX]

[MatteNoob]

Hallo i luken.
Jeg forsøker å finne buelengden for denne vektorfunksjonen (spiral);

[tex]\vec r(t)=\left[\frac 12 t \cos t,\, \frac 12t\sin t\right][/tex]

Har funnet at dette blir:
[tex]\vec r\prime (t) = \left[\frac 12 \left(\cos t - t\sin t\right),\; \frac 12\left(\sin t+t\cos t\right)\right][/tex]

Ferdig forenklet, skulle integralet av buelenden (hvilket stemmer) for fem omdreininger bli:

[tex]\frac 12 \cdot \int_0^{10\pi} \left(\sqrt{t^2 + 1}\right)\, \rm{d}t[/tex]

Jeg har mistanker til at dette integralet er rimelig vanskelig, for på liknende integraler viser læreboken til kalkulatoren. Vil noen hjelpe meg her?

[zell]

Trigonometrisk substitusjon, du finner mange slike oppgaver på forumet.

[Janhaa]

Hallo i luken.
[tex]\frac 12 \cdot \int_0^{10\pi} \left(\sqrt{t^2 + 1}\right)\, \rm{d}t[/tex]
Jeg har mistanker til at dette integralet er rimelig vanskelig, for på liknende integraler viser læreboken til kalkulatoren. Vil noen hjelpe meg her?

Er nok hverken 3MX eller R2 pensum, men som zell sier, trigonometrisk substitusjon funker;
Enten
u =arctan(t)

eller
t = sinh(u)

Prøv dette hvis du vil løse det ubestemte integralet, ellers er det sjølsagt kalkismat.
-----------------
EDIT:
korrigerte siste substitusjonen

[Olorin]

Vet hvordan man løser denne med sistnevnte subst. men tenkte å prøve å børste litt støv av det lille jeg kan om trig. subs.

[tex]\int \sqr{1+t^2}\rm{d}t[/tex]

[tex]u=\arctan(t),\,\ t=tan(u)[/tex]

[tex]\frac{du}{dt}=\frac1{1+t^2},\,\ dt=(1+t^2)du[/tex]

[tex]\int\sqr{1+\tan^2(u)}(1+\tan^2(u))\rm{d}u[/tex]

[tex]\int\sqr{\frac{\cos^2(u)+\sin^2(u)}{\cos^2(u)}}(\frac{\cos^2(u)+\sin^2(u)}{\cos^2(u)})[/tex]

[tex]\int\frac{1}{\sqr{\cos^2(u)}}\cdot \frac1{\cos^2(u)}\rm{d}u[/tex]

[tex]\int \frac1{\cos^3(u)}\rm{d}u[/tex]

Så stopper det igjen, har jeg gjort noe feil/tungvint lengre oppe?

[zell]

Lettere å bruke sinhu.

[tex]t = \sinh{(u)}, u = \rm{arcsinh}{(t)}[/tex]

[tex]\frac{\rm{d}t}{\rm{d}u} = \cosh{u}[/tex]

[tex]\cosh^2{u}-\sinh^2{u} = 1[/tex]

[tex]\int\sqrt{1+t^2}\rm{d}t = \int\sqrt{1+\sinh^2{u}}\cosh{u}\rm{d}u[/tex]

[tex]\int\cosh^2{u}\rm{d}u[/tex]

[tex]\cosh{(2u)} = \cosh^2{u}+\sinh^2{u} = \cosh^2{u}+\cosh^2{u}-1 = 2\cosh^2{u}-1[/tex]

[tex]\cosh^2{u} = \frac{\cosh{(2u)}+1}{2}[/tex]

And so forth.

[Janhaa]

Vet hvordan man løser denne med sistnevnte subst. men tenkte å prøve å børste litt støv av det lille jeg kan om trig. subs.
[tex]\int \frac1{\cos^3(u)}\rm{d}u[/tex]
Så stopper det igjen, har jeg gjort noe feil/tungvint lengre oppe?

[tex]I=\int \sec^3(u) \,du[/tex]

og så jukser man med reduksjonsformelen til [tex]\,\,\int \sec^3(u)\,du=\frac{\sec(u)\tan(u)}{2}\,+\,{1\over 2}\int \sec(u)\,du[/tex]

der det sistnevnte integral har vi løst flere gange før. Også du...

trur forresten reduksjonsformelen kan utledes med delvis integrasjon, altså;

[tex]\int \sec^n(u)\,du= \int sec^{n-1}(u)\sec(u)\,du[/tex]

[Olorin]

zell, jeg vet hvordan man løser oppgaven med den substitusjonen.

Uansett, så etter noen sammenhenger med hyberbolske funksjoner men "dodga" tydeligvis den Janhaa viste. Da skal det la seg løse. Takk