bevis for derivasjon av produkt

[gill]

Bruk produktregelen, $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ og at $\frac{d}{dx}(x)=1$ for å vise at $\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$ for hvert positive heltall n.

Hvor starter jeg her?

[bartleif]

Kan vel begynne med at $x^n=x_1\cdot x_2\cdot ....\cdot x_n$

Oppgaven sier samtidig at du skal bruke at $(x{)}^{\prime }=1$

[Janhaa]

En alternativ måte kan være logaritmisk derivasjon, MEN OPPGAVA ETTERSPØR IKKE DETTE

$y=x^n$

tar ln på begge sider

$\ln (y)=\ln (x^n)=n\ln (x)$

og deriverer logaritmisk:

$\frac{1}{y}\cdot y^{,}=n\cdot \frac{1}{x}$

$y^{,}=n\cdot x^n\cdot x^{-1}=n{x}^{n-1}$

[daofeishi]

Tenk induksjon. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{x}^{n+1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}x\cdot x^n=...$

[gill]

Nå har jeg løst den. Satt x som det ene leddet og deriverte med produktregelen. Men den regelen de beskriver stemmer ikke med regelen for derivasjon av produkt vel?

blir det ikke u v'+v u'

[Emilga]

Hvis jeg har forstått notasjonen riktig, så skal det som kommer nå gi fullstendig mening:

$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

Hvis vi lar $dx\to 0$ vil $\frac{dv}{dx}\to v^{\prime }$, $\frac{du}{dx}\to u^{\prime }$ og $\frac{d}{dx}(uv)\to (uv{)}^{\prime }$


$\underset{dx\to 0}{lim}\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}\Rightarrow (uv{)}^{\prime }=u\cdot v^{\prime }+u^{\prime }\cdot v$

(Jeg kan forresten slenge opp bevisene for den deriverte av en sum, kvotientregelen og kjerneregelen også, hvis noen vil ha det. Jeg fant dem nemlig i en bok da jeg ryddet her om dagen.)

[BMB]

Jeg tror du har misforstått notasjonen litt.

$\underset{\delta x\to 0}{lim}\frac{\delta }{\delta x}=\frac{d}{dx}$

Ser man grafisk på det, så er $\frac{\delta }{\delta x}$ stigningstallet til en sekant som skjærer grafen i to punkter. $\frac{d}{dx}$ er stigningstallet til en tangent.

Jeg har interesse av å se de andre bevisene!

P.S.

Vanligvis så skrives vel $\delta$ som en "trekant", altså den bokstaven som tilsvarer D i vårt alfabet; men vet ikke hvordan man skriver det i TEX.

[Emilga]

Vanligvis så skrives vel $\delta$ som en "trekant", altså den bokstaven som tilsvarer D i vårt alfabet; men vet ikke hvordan man skriver det i TEX.

\Delta x $\mathrm{\Delta }x$

Jeg tror du har misforstått notasjonen litt.

$\underset{\delta x\to 0}{lim}\frac{\delta }{\delta x}=\frac{d}{dx}$

Da blir det vel bare slik(?):

$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

$\frac{dv}{dx}\to v^{\prime }$, $\frac{du}{dx}\to u^{\prime }$ og $\frac{d}{dx}(uv)\to (uv{)}^{\prime }$

$(uv{)}^{\prime }=u\cdot v^{\prime }+u^{\prime }\cdot v$

Jeg har interesse av å se de andre bevisene!

I'm on it.

[SUPLOLZ]

Bruk produktregelen, $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ og at $\frac{d}{dx}(x)=1$ for å vise at $\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$ for hvert positive heltall n.

Hvor starter jeg her?

Vi bruker induksjon.

Vi tester at dette stemmer for n = 1:

$\frac{d}{dx}(x^1)=1x^{1-1}=1$ dvs, det stemmer

Så antar vi at den stemmer for n = k, da må vi se om den stemmer for n = k+1 (det er her produktregelen kommer inn)

$\frac{d}{dx}(x^{k+1})=\frac{d}{dx}(x^k\ast x)=x^k\frac{dx}{dx}+x\frac{d}{dx}(x^k)=x^k\ast 1+k\ast x^{k-1}\ast x=(k+1)x^k=n{x}^{x-1}$

Vi har vist at formelen stemmer for alle heltall n større eller lik 1

[Charlatan]

Nå har du kun bevist det for heltall. For å generalisere det til $n\in \mathbb{R}$ kan man bruke at $x^n=e^{n\ln x}$