Implisitt derivasjon, er dette riktig?

[MatteNoob]

Hei.
Har tenkt litt på implisitt derivasjon, og lurer på om dette blir riktig.

[tex]y = \arctan x \\ \, \\ x = \tan y[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\,\tan y = \frac{d}{dx}\, \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{\cos^2 y}[/tex]

Dermed;
[tex]y\prime = \frac{1}{\cos^2\left(\arctan x\right)} = \frac{1}{(\sqrt{x^2 +1})^2} = \frac{1}{x^2 + 1}[/tex]

Er dette riktig?

Edit: rettet en leif.

[Janhaa]

Hei.
Har tenkt litt på implisitt derivasjon, og lurer på om dette blir riktig.
[tex]y = \arctan x \\ \, \\ x = \tan y[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\,\tan y = \frac{d}{dx}\, \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{\cos^2 y}[/tex]
Er dette riktig?

hmmm, du sier at
[tex]\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\tan(y))[/tex]

men er ikke y = arctan(x) ?

du sier y = tan(y)

[MatteNoob]

Hei, Janhaa!
Du sikter til at jeg roter med [tex]\frac{d}{dx}[/tex] her? - Jeg er usikker på denne notasjonen.

Det jeg mente var vel at:
[tex]y = \arctan x \\ \, \\ x = \tan y[/tex]

Og jeg vil derivere funksjonen x(y) med hensyn på y.

Da blir det vel:

[tex]\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\,\tan y = \frac{d}{dy}\, \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{\cos^2 y}[/tex]

Dermed;
[tex]y\prime = \frac{1}{\cos^2\left(\arctan x\right)} = \frac{1}{(\sqrt{x^2 +1})^2} = \frac{1}{x^2 + 1}[/tex]

Er dette riktig?

[Janhaa]

Hei, Janhaa!
Du sikter til at jeg roter med [tex]\frac{d}{dx}[/tex] her? - Jeg er usikker på denne notasjonen.
Det jeg mente var vel at:
[tex]y = \arctan x \\ \, \\ x = \tan y[/tex]
Og jeg vil derivere funksjonen x(y) med hensyn på y.
Da blir det vel:
[tex]\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\,\tan y = \frac{d}{dy}\, \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{1}{\cos^2 y}[/tex]

MathNoob;

Notasjonen ser bedre ut, men er ikke helt riktig.
Noe i den duren. Er litt sliten nå.

-----------------------------------
[tex]y=\arctan(x)[/tex]
[tex]x=\tan(y)[/tex]
deriverer begge sider;
[tex]1=(1+\tan^2(y))\cdot y^,[/tex]

[tex]y^,=\frac{1}{1+\tan^2(y)}=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

[Janhaa]

HUSK AT

[tex]\frac{dy}{dx}=y^,(x)[/tex]

og

[tex]\frac{dx}{dy}=x^,(y)[/tex]

Men svaret ditt er riktig...

[MatteNoob]

Takk for det!
Hjelper ikke at svaret er riktig, når jeg rabler som en gris, haha.

Jeg tror jeg skal undersøke dette videre senere, er trøtt som ei strømpe sjæl. :]

[MatteNoob]

Jeg vil derivere denne "funksjonen" med hensyn på x.
[tex]y^4 + 2x^2y-3xy^2 = 1[/tex]

[tex]4y^3 \cdot \frac{dy}{dx} + \left(\underbrace{4xy + 2x^2\cdot \frac{dy}{dx}}_{\text{produktregelen}}\right) - \left(\underbrace{3y^2 + 6xy\cdot \frac{dy}{dx}}_{\text{produktregelen}}\right) = 0[/tex]

[tex]\left(4y^3 + 2x^2 - 6xy\right)\cdot \frac{dy}{dx} = 3y^2-4xy \\ \, \\ \frac{dy}{dx} = \frac{3y^2-4xy}{4y^3 + 2x^2 - 6xy} [/tex]

Blir dette riktig?

[Janhaa]

Korrekt. Bra MathNobb.

[MatteNoob]

Jippi!!!
Dette skal jeg leke mer med.