Integrasjon

[Thor-André]

Prøver å forstå integrasjon. Har lest det som står i boka, der forklarer de det med de rektanglene under grafen osv.

Det bestemte integralet til f fra a til b definerer vi:

[tex]\int\limits_a^b {f(x)dx = } {\lim }\limits_{n \to \,\infty }S_n \[/tex]

Og jeg skjønner hvordan [tex]{\lim }\limits_{n \to \,\infty }S_n \[/tex] "fungerer"...

Jeg får derimot ikke tak i hvordan [tex]\int\limits_a^b {f(x)dx[/tex] kan gi arealet under grafen.
Det du gjør er jo å antiderivere funksjonen, hvordan kan det gi arealet? Det er jo ikke slik at hvis du har den antideriverte, så har du arealet... Hmmmm

Hadde satt pris på om noen kunne sette meg inn i dette her

[Karl_Erik]

Om jeg ikke forstår deg helt feil er spørsmålet ditt hvorfor det å finne arealet under grafen til en funksjon er det samme som å antiderivere den. Må bare nevne at det er veldig bra med nysgjerrighet og alt det der - fortsett med det. Når det gjelder svaret er det litt komplisert. I mattebøkene mine virket det veldig som integrasjon mer eller mindre var definert som antiderivasjon, og de forklarte ikke hvorfor dette var det samme som å finne arealet under grafen. I virkeligheten er integrasjon definert som arealet under en funksjon fra a til b. At man kan integrere en funksjon ved å antideriverte den er på ingen måte åpenlyst eller trivielt - teoremet som beviser at dette er tilfellet kalles analysens fundamentalteorem og er så vidt jeg vet en av de viktigere teoremene innen analysen. Desverre er beviset for teoremet rimelig vanskelig for oss vanlige, dødelige VGS-elever, men om du er interessert står det i artikkelen. Ser at dette ikke var et veldig forklarende svar, så håper noen andre har evne til å forklare det bedre.

[Thor-André]

Takk for svar

Oisann, så det er såpass ja Jeg har vært syk denne uken, så jeg har gått glipp av hele undervisningen i matte, trodde derfor at jeg hadde oversett noe enkelt eller misforstått noe. Men da er det altså en grunn til at de er forklart litt vagt i boka.

Jeg er nysgjerrig, men må inrømme at jeg ikke orker lese hele den artikkelen, er redd for at den ligger utenfor min fatteevne!

men hvis noen masterminds her inne kan forklare det noe enklere så er jeg interessert... Hvis det derimot ikke kan forklares noe enklere, så får jeg bare akseptere at det er sånn!

[Emilga]

Den andre delen Geometric intuition var vel helt grei den?

[Thor-André]

Las den nå, og den var jo helt grei. Men likevel så klarer jeg ikke helt å forstå det, følte at de bare triksa det til slik at det skulle stemme...

Men vil tørre å påstå at jeg forstår det litt bedre nå

[MatteNoob]

Slik tenker jeg;

Integrasjonsprosessen går ut på å gjøre rektanglene under grafen ufattelig smale (da blir også arealet for hver enkelt rektangel lite), og så summere dem , for å gi et nøyaktig areal.

[Thor-André]

Det tenker jeg også når jeg ser denne formelen [tex]{\lim }\limits_{n \to \,\infty } S_n[/tex]

Men det er vel ikke akkurat samme operasjon som denne formelen [tex]\int\limits_a^b {f(x)dx }[/tex] ???

[Thor-André]

Eller?

[Charlatan]

La oss si at du har en kurve beskrevet av funksjonen [tex]f(x)[/tex], og at du definerer Arealfunksjonen A(x) som arealet under kurven til [tex]f(x)[/tex] mellom [tex]0[/tex] og [tex]x[/tex]. Prøv å tegn opp så forstår du bedre.

Vi ser på intervallet mellom [tex]x[/tex], og [tex]x+h[/tex] for en positiv konstant [tex]h[/tex]. Arealet mellom [tex]x+h[/tex] og [tex]x[/tex] under kurven er [tex]A(x+h)-A(x)[/tex]. Høyden av kurven i [tex]x[/tex] er [tex]f(x)[/tex], og høyden av kurven i [tex]x+h[/tex] er [tex]f(x+h)[/tex]. Da vil arealet være ca. lik høyde*bredde[tex]=h \cdot f(x)[/tex], eller ca. lik [tex]h \cdot f(x+h)[/tex], ettersom kurven stiger. Vi kan si at [tex]A(x+h)-A(x) \approx hf(x)[/tex] når h er liten.

Det som er viktig å forstå, er at verdien til [tex]hf(x)[/tex] kan bli så nærme [tex]A(x+h)-A(x)[/tex] som vi vil, bare ved å velge [tex]h[/tex] liten nok. Vi lar [tex]h \to 0[/tex].
Vi får at [tex]f(x) \approx \frac{A(x+h)-A(x)}{h}[/tex], men når vi lar [tex]h \to 0[/tex] får vi likhet, dvs at [tex]f(x)= \lim_{h \to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=A^\prime(x)[/tex].

Vi fant ut at [tex]f(x)[/tex] er lik den deriverte til [tex]A(x)[/tex]!. Det vil si at den antideriverte av [tex]f(x)[/tex], [tex]F(x)[/tex], er slik at [tex]F(x)+C=A(x)[/tex], eller [tex]F(x)=A(x)-C[/tex] for en konstant [tex]C[/tex]. Vi definerer [tex]\int^b_a f(x) \rm{d}x=F(b)-F(a)=(A(b)-C)-(A(a)-C)=A(b)-A(a)[/tex], hvor [tex]F^\prime(x)=f(x)[/tex]. Vi vet at [tex]A(b)[/tex] er arealet under kurven fra [tex]x=b[/tex] til [tex]x=0[/tex], og [tex]A(a)[/tex] er arealet under kurven fra [tex]x=a[/tex] til [tex]x=0[/tex]. Da må [tex]A(b)-A(a)[/tex] være lik arealet mellom [tex]x=b[/tex] og [tex]x=a[/tex]. Derfor har vi at arealet under kurven [tex]f(x)[/tex] fra [tex]x=a[/tex] til [tex]x=b[/tex] er [tex]\int^b_a f(x) \rm{d}x=F(b)-F(a)[/tex], hvor [tex]F^\prime(x)=f(x)[/tex].

Dette beviset er ikke rigorøst nok når det kommer til en mer sofistikert behandling av integraler, men det er en fin og logisk forklaring på hvorfor det er slik, når det tilsynelatende ikke har noen sammenheng.

[Thor-André]

Tusen takk for utyllende svar Jarle

Og det er nok rigorøst for meg, hva det måtte bety! Men uansett så forstår jeg det nå, håper jeg hvertfall