Related rates

[Stone]

Har kommet til noe som heter for `related rates` i Matte 1.
Men uansett hvor mye jeg leser eksemplene så fatter jeg ikke hvordan jeg skal løse disse oppgavene.
F.eks denne;
Each side of a square is increasing at a rate of 6cm/s.
At what rate is the area of the square increasing when the area of the square is 16cm^2.

Vet fasit svaret, og prøver å følge eksemplene, men uansett hvordan jeg vrir og vender på det, så får jeg ikke til.
Nå spør sikkert noen om hvor langt jeg er kommet da, men får å være ærlig skjønner jeg ikke i det hele tatt hvordan jeg skal gjøre dette.
Litt hjelp ? :p

[Badeball]

Lissom, arealet til et kvadrat med sidelengde x er jo A = x^2. Så bare deriverer du dette mhp tid (bruk kjerneregelen).

dA/dt = 2x * dx/dt

Oppgaven ber om at du skal finne dA/dt når arealet er lik 16. Når A = 16 cm^2 er x = 4 cm, og dx/dt er oppgitt i oppgaven til å være 6 cm/s, så da bare setter vi inn i formelen vi fant, og får : dA/dt = 2 * 4 * 6 = 48 cm^2/s.

[Stone]

Tusentakk, nå skal jeg studere litt å se om jeg forstår dette bedre :>

[MatteNoob]

Lissom, arealet til et kvadrat med sidelengde x er jo A = x^2. Så bare deriverer du dette mhp tid (bruk kjerneregelen).

dA/dt = 2x * dx/dt

Oppgaven ber om at du skal finne dA/dt når arealet er lik 16. Når A = 16 cm^2 er x = 4 cm, og dx/dt er oppgitt i oppgaven til å være 6 cm/s, så da bare setter vi inn i formelen vi fant, og får : dA/dt = 2 * 4 * 6 = 48 cm^2/s.

Når du skriver at man skal bruke kjerneregelen og derivere med hensyn på tid for:
[tex]A(x) = x^2[/tex]

Og skriver:

[tex]\frac{dA}{dt} = 2x \cdot \frac{dx}{dt}[/tex]

Hva er det egentlig som skjer da? Vi har jo ikke tiden t her, men den variable sidelengden x. Vil du utdype dette litt, er du grei.

[MatteNoob]

Finner på en oppgave...

• En ballong fylles med vann og radius øker med [tex]0.1\, dm/s[/tex].
  
  Vi antar at ballongen er helt rund.
  
  Hvor fort øker volumet av ballongen, når diameter er 10 cm (r=0.5 dm)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Blir det da riktig å si:
[tex]V=\frac 43 \pi r^3[/tex]


[tex]\frac{dV}{dt} = \frac 43 \pi 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = \underline{4\pi r^2\cdot\frac{dr}{dt}}[/tex]

[tex]\frac{dV}{dt} = 4\pi \cdot \left(\frac 12\right)^2 \cdot \frac{1}{10} = \underline{\underline{\frac{\pi}{10} \text{ dm^3/s}}}[/tex]

[BMB]

Han bruker kjerneregelen; for ditt tilfelle blir det jo:

[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}[/tex]

[tex]\frac{dV}{dt}=4 \pi r^2 \cdot 0,1[/tex]

[MatteNoob]

BMB:
Da skulle vel det jeg har gjort bli riktig, men;

[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}[/tex]

Innledningsvis skriver vi:
[tex]\frac{dV}{dt}[/tex] - Det leser jeg - "Den deriverte av volumet med hensyn på t". Hvorfor er da

[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}[/tex]

Betyr dette at: "Den deriverte av volumet, med hensyn på tiden er produktet av den deriverte av volumet med hensyn på radius og hensyn på tiden?"

Ser også at:
[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{\cancel{dr}} \cdot \frac{\cancel{dr}}{dt}[/tex]

Mulig jeg begynner å skjønne det nå... Pga at hensynet på r (dr) kansellerer hverandre, vet vi at vi har likt på begge sider?

[BMB]

Dette kan du egentlig - det er bare kjerneregelen med en litt annen notasjon.

Ja, du kan si det sånn; de kansellerer hverandre. Det er i hvert fall sånn det er når du regner med dem.

[MatteNoob]

Hehehe, ja, det er den som forvirrer meg noe fryktelig.

[BMB]

Emomilol har lovt å slenge fram beviset for den på bevisforumet.

Edit:
Fant forresten denne nå: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=13702.^^

[Emilga]

Emomilol har lovt å slenge fram beviset for den på bevisforumet.

Noe jeg nå har gjort.

[MatteNoob]

Emomilol har lovt å slenge fram beviset for den på bevisforumet.

Noe jeg nå har gjort.

Svarer her, for jeg vil ikke kludre i bevistråden din.

Grundig og godt utført, takk :]

[Emilga]

Takk den gode gamle læreboka fra 1982.

[MatteNoob]

Takk den gode gamle læreboka fra 1982.

Jeg er født i 82