Vis at
lim[sub]n->uendelig[/sub][sigma][/sigma][sub]k=1[/sub][sup]n[/sup](1/n)ln(1+(k/n))=2 ln(2) - 1
Hvor begynner jeg? Vet ikke hvordan jeg behandler logaritmer inne i en sum...
Sum
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Dette var en morsom oppgave, men langt fra triviell. Jeg klarte å løse den til slutt, og kan vel gi den noen tips.
1)Siden du summerer over k, kan du flytte(1/n) ut av summen.
2)Spiltt logaritmen i to(sett på fellesbrøkstrek først)
3)Den ene summen blir da triviell, den andre litt værre.
4) Den vanskelige summen har å gjøre med logaritmen til Eulers Gamma-funksjon. Siden vi kun har å gjøre med heltall forenkler det hele seg ganske bra(til fakulteter).
5)Ta grenseverdien til dette
Finnes det lettere måter, så legg det gjerne inn her!!
1)Siden du summerer over k, kan du flytte(1/n) ut av summen.
2)Spiltt logaritmen i to(sett på fellesbrøkstrek først)
3)Den ene summen blir da triviell, den andre litt værre.
4) Den vanskelige summen har å gjøre med logaritmen til Eulers Gamma-funksjon. Siden vi kun har å gjøre med heltall forenkler det hele seg ganske bra(til fakulteter).
5)Ta grenseverdien til dette
Finnes det lettere måter, så legg det gjerne inn her!!
Ok, den er grei.Cauchy skrev: 1)Siden du summerer over k, kan du flytte(1/n) ut av summen.
Jeg antar du her mener ln(1+(n/k))=ln((n+k)/n)=ln(n+k)-ln(n)Cauchy skrev: 2)Spiltt logaritmen i to(sett på fellesbrøkstrek først)
Jeg antar den trivielle summen blir [sigma][/sigma][sub]k=1[/sub][sup]n[/sup]ln(n)=n ln(n)Cauchy skrev: 3)Den ene summen blir da triviell, den andre litt værre.
Ved å multiplisere med faktoren (1/n) blir dette ln(n). Men er det ikke denne delen av stykket som skal bli -1? ln(n) divergerer jo mot uendelig. Har jeg regnet ut summen feil?
Her mistet du meg fullstendig. Hva er Eulers gammafunksjon? Hvordan bruker jeg den i dette tilfellet?Cauchy skrev: 4) Den vanskelige summen har å gjøre med logaritmen til Eulers Gamma-funksjon. Siden vi kun har å gjøre med heltall forenkler det hele seg ganske bra(til fakulteter).
Jeg skrev litt feil i sted...kan ikke forenkle gammafunksjonen, siden
n-->uendelig.
Anbefaler å lese litt om gammafunksjonen f.eks på mathworld, det er litt drøyt å forklare her.Poenget er uansett at
(1/n)[sigma][/sigma]ln((n+k)/n)=(1/n)*[ (n+1)*ln(1/n) - ln(1/n) + Gamma(2n+1) - Gamma(n+1) ]
Man kan da også vise at denne grenseverdien blir 2ln2-1.
Det er flere ting i det jeg skrev tidligre som ikke stemmer helt tror jeg.
Denne oppgaven er ganske finurlig!
[sigma][/sigma]
n-->uendelig.
Anbefaler å lese litt om gammafunksjonen f.eks på mathworld, det er litt drøyt å forklare her.Poenget er uansett at
(1/n)[sigma][/sigma]ln((n+k)/n)=(1/n)*[ (n+1)*ln(1/n) - ln(1/n) + Gamma(2n+1) - Gamma(n+1) ]
Man kan da også vise at denne grenseverdien blir 2ln2-1.
Det er flere ting i det jeg skrev tidligre som ikke stemmer helt tror jeg.
Denne oppgaven er ganske finurlig!
[sigma][/sigma]
Emnet heter MAT112 eller "Brukerkurs i mattematikk 2" i Bergen.
http://studentportal.uib.no/?link_id=22 ... ode=MAT112
http://studentportal.uib.no/?link_id=22 ... ode=MAT112
Jeg tror nok gammafunksjonen er et godt stykke utenfor dette pensumet, iallefall i sin helhet...Den har mange anvendelser og henger sammen med en del andre spesielle funksjoner. Rent generelt er nok det du kommer til å få mest bruk for ved gamma-funksjonen at:
Gamma(x+1)=x! ,x=0,1,2,3......
Gamma(x+1)=x! ,x=0,1,2,3......
Denne var litt spesiell denne ja, og krever litt regning. Det er forsåvidt ingen vits i å blande inn gammafunksjonen her, siden som Cauchy sier, så er den for hele tall bare en annen måte å skrive fakulteter på.
Det jeg gjorde var, etter å ha redusert uttrykket til
lim (1/n)*ln[(2n)!/n!/n[sup]n[/sup]]
så brukte jeg Stirlings formel:
n! = n[sup]n+1/2[/sup]e[sup]-n[/sup]sqrt(2*pi).
Denne gjelder riktignok bare tilnærmet for store n, men konvergerer mot denne verdien når n går mot uendelig.
Da løser det hele seg opp, og blir ganske enkelt.
Det jeg gjorde var, etter å ha redusert uttrykket til
lim (1/n)*ln[(2n)!/n!/n[sup]n[/sup]]
så brukte jeg Stirlings formel:
n! = n[sup]n+1/2[/sup]e[sup]-n[/sup]sqrt(2*pi).
Denne gjelder riktignok bare tilnærmet for store n, men konvergerer mot denne verdien når n går mot uendelig.
Da løser det hele seg opp, og blir ganske enkelt.
Det er bare vanlig manipulasjon av uttrykk.
Først reduser uttrykket til
-ln(n) + (1/n)[sigma][/sigma]ln(n+k)
Så fjerner du summetegnet:
-ln(n) + (1/n)[ln(n+1) + ln(n+2) + ... + ln(2n)]
Bruk regelene for logaritmer:
-ln(n) + (1/n)ln[(n+1)(n+2)...(2n)]
Og nå kommer trikset:
-ln(n) + (1/n)ln[(2n)!/n!]
Og til slutt:
(1/n)ln[(2n)!/n!/n[sup]n[/sup]]
Nå kan du bruke Stirlings formel, og ta grensen når n går mot uendelig.
Først reduser uttrykket til
-ln(n) + (1/n)[sigma][/sigma]ln(n+k)
Så fjerner du summetegnet:
-ln(n) + (1/n)[ln(n+1) + ln(n+2) + ... + ln(2n)]
Bruk regelene for logaritmer:
-ln(n) + (1/n)ln[(n+1)(n+2)...(2n)]
Og nå kommer trikset:
-ln(n) + (1/n)ln[(2n)!/n!]
Og til slutt:
(1/n)ln[(2n)!/n!/n[sup]n[/sup]]
Nå kan du bruke Stirlings formel, og ta grensen når n går mot uendelig.
Her er en annen måte å løse oppgaven på (løsningsforslaget til oppgaven):
f(x)=ln(x+1) er kontinuerlig på [0,1] og derfor Riemann integrerbar. La P[sub]n[/sub] være partisjonen P[sub]n[/sub]={0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1}. Da vil U(f,P[sub]n[/sub]) -> [itgl][/itgl][sub]0[/sub][sup]1[/sup]ln(1+x)dx når n -> uendelig. Siden [itgl][/itgl]ln(x+1)dx=(x+1)ln(x+1)-x+C, får man lim[sub]n->uendelig[/sub]U(f,P[sub]n[/sub])=2ln2-1, eller, da ln(x+1) er en voksende funksjon, lim[sub]n->uendelig[/sub]U(f,P[sub]n[/sub])=lim[sub]n->uendelig[/sub][sigma][/sigma][sub]k=1[/sub][sup]n[/sup]ln(1+(k/n))*(1/n)=2ln2-1
f(x)=ln(x+1) er kontinuerlig på [0,1] og derfor Riemann integrerbar. La P[sub]n[/sub] være partisjonen P[sub]n[/sub]={0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1}. Da vil U(f,P[sub]n[/sub]) -> [itgl][/itgl][sub]0[/sub][sup]1[/sup]ln(1+x)dx når n -> uendelig. Siden [itgl][/itgl]ln(x+1)dx=(x+1)ln(x+1)-x+C, får man lim[sub]n->uendelig[/sub]U(f,P[sub]n[/sub])=2ln2-1, eller, da ln(x+1) er en voksende funksjon, lim[sub]n->uendelig[/sub]U(f,P[sub]n[/sub])=lim[sub]n->uendelig[/sub][sigma][/sigma][sub]k=1[/sub][sup]n[/sup]ln(1+(k/n))*(1/n)=2ln2-1