Finn funskjon

[MatteNoob]

espen180 driver og sender meg oppgaver så jeg skal merke hvor lite jeg kan. Denne gangen fikk jeg tilsendt dette monsteret

[tex]f(\sqrt x + 1) = x[/tex]

Hvordan i alle dager skal man gå frem for å finne løsningen på denne luringen?

[Vektormannen]

Sett [tex]u = \sqrt x + 1[/tex]. Da får du [tex]f(u) = x[/tex].

Da kan x uttrykkes slik:

[tex]u - 1 = \sqrt x[/tex]

[tex](u - 1)^2 = x[/tex]

Tror du du kan finne f nå?

[mathme]

Sett [tex]u = \sqrt x + 1[/tex]. Da får du [tex]f(u) = x[/tex].

Da kan x uttrykkes slik:

[tex]u - 1 = \sqrt x[/tex]

[tex](u - 1)^2 = x[/tex]

Tror du du kan finne f nå?

kjerneregelen, hvis jeg husker riktig

[Vektormannen]

Vi trenger ikke å blande inn derivasjon her altså

[MatteNoob]

Vi trenger ikke å blande inn derivasjon her altså

Hehehe

Sett [tex]u = \sqrt x + 1[/tex]. Da får du [tex]f(u) = x[/tex].

Da kan x uttrykkes slik:

[tex]u - 1 = \sqrt x[/tex]

[tex](u - 1)^2 = x[/tex]

Tror du du kan finne f nå?

Okey, la meg resonnere her. Funksjonen jeg la ut, kommer ikke med en bestemt variabel, denne bestemte du. Du setter f(u) og funksjonen gir ut den ukjente funksjonsverdien x dersom man stapper inn u.

På lik linje med at, feks:
[tex]f(u)=u^2 + 5u[/tex]

[tex]f(\sqrt x) = (\sqrt x)^2 + 5(\sqrt x) = \underline{x+5\sqrt x}[/tex]

Det vi vil gjøre, er rett og slett å reversere prosessen, for å finne funksjonsuttrykket?

Du setter [tex]u = \sqrt x +1[/tex] og vil nå løse for x.

[tex]u=\sqrt x +1 \\ \, \\ (u-1)^2 = x \\ \, \\ x = u^2 - 2u +1[/tex]

Funksjonsuttrykket er:

[tex]f(u) = u^2 - 2u + 1[/tex]

[Vektormannen]

Ja, vi kaller innverdien til funksjonen for u. Når vi isolerer x / får uttrykt x ved u, gjør vi akkurat den samme jobben som f gjør med u for å få x. Dermed må uttrykket bli det samme som funksjonsuttrykket til f. Kanskje dumt forklart, men

[MatteNoob]

@ Vektormannen
Nei, det synes jeg absolutt ikke er dumt forklart. Hjertlig takk, nå lærte jeg noe nytt!

[Emilga]

Kan noen poste en oppfølger?

[MatteNoob]

[tex]f(2x+\sqrt[3]{x}) = x+1[/tex]


Edit:
Jeg tror ikke denne har noen løsning, haha.

[mathme]

Hva er mer vakkert enn matematikere som snakker om matematikk ?

La oss isolere x, sette y i fengsel og dra t'en ut i fra x^t,
så bombarderer vi hele gjengen med en funksjon!

[Emilga]

Edit:
Jeg tror ikke denne har noen løsning, haha.

Hadde du ikke postet det, hadde jeg ikke fått sovet i natt.

[MatteNoob]

@ mathme: hehehe, godt sagt :]

@ emomilol:
Hehehe, vel, espen sendte meg en ny en, så da kan du jo se om du får sove nå:

[tex]a) \\ f(e^{2x})=6x-3e^{4x}[/tex]

[mathme]

@ mathme: hehehe, godt sagt :]

Hehe :p

God natt til alle matematikkerne på matematikk.net
Bra jobba alle sammen, like bra innsats skal det bli i morgen også

Drøm tall

[moth]

Ok, jeg måtte prøve meg. Regner med at det ikke er rett, så då poster jeg det bare.

[tex]f(u)=6\frac{ln(u)}{2}-3e^{4\frac{ln(u)}{2}}[/tex]

[MatteNoob]

I got carried away...

[tex]a) \\ f(e^{2x})=6x-3e^{4x}[/tex]

[tex]b) \\ \int_1^{f(e)} f(u) \rm{d}u[/tex]

f er lik i a og b.

a)

[tex]u = (e^x)^2 \\ \, \\ \sqrt u = e^x \\ \, \\ \frac 12 \ln u = x\ln e \\ \, \\ x = \frac 12\ln u[/tex]

Dermed;

[tex]6\frac 12 \ln u-3e^{\frac 12\ln u \cdot 4} \\ \, \\ \Rightarrow \; 3\ln u -3e^{2\ln u} \\ \, \\ \Rightarrow \; 3\ln u -3(e^{\ln u})^2 \\ \, \\ \Rightarrow \; 3\ln u - 3u^2[/tex]

[tex]f(u) = 3\ln u - 3u^2[/tex]

------
Prøver:

[tex]f(e^{2x}) = 3\ln \left(e^{2x}\right) - 3(e^{2x})^2 = 3\cdot 2x \ln e - 3e^{4x} = \underline{6x - 3e^{4x}}[/tex]

-------------------
b)

Regner ut øvre grense:
[tex]f(e) = 3\ln e - 3e^2 = \underline{3-3e^2}[/tex]

[tex]1\;>\; 3-3e^2[/tex]

Dropper grensene i første omgang.

[tex]\int \left( 3\ln u -3u^2\right)\rm{d}u = \int 3\ln u \rm{d}u - 3\int u^2 \rm{d}u =[/tex]

[tex]\int \left( 3\ln u -3u^2\right)\rm{d}u = 3u \ln u - \int 3\cancel u \frac{1}{\cancel u}\rm{d}u - 3 \int u^2 \rm{d}u =[/tex]

[tex]\int \left( 3\ln u -3u^2\right)\rm{d}u = 3u\ln u - 3u - u^3 + C[/tex]

[tex]F(u) = u\left(3\ln |u| - 3 - u^2\right) + C[/tex]

-----------
Siden [tex]a<b[/tex] i [tex]\int_b^a f(u)\rm{d}u \Rightarrow -\int_a^b f(u)\rm{d}u[/tex]

[tex]-\left[3u\ln|u|-3u - u^3\right]_{3-3e^2}^{1} = \left[u^3+3u-3u\ln|u|\right]_{3-3e^2}^{1} [/tex]

Jeg tror ikke jeg orker den ass.